技术标签: 算法 c++ Algorithm design 动态规划
我们经常会碰到二维DP问题,比如给你一张地图(一般是二维矩阵),让你计算出从地图的左上端走到右下端的路径有多少条 / 最短的路径之和,这种问题一般会被限制运动的空间(至少我现在所碰到的题目),一般是只能向下和向右移动。
我对dp问题理解不深,对于二维dp问题我的理解就是找出最优子结构(递推方程)之后,用一个二维数组来保存历史状态就能解决问题了
一般这种问题很容易被矩阵上边和左边这两条boundary把程序搞得很复杂(因为这两个boundary需要修改特定的递推公式程序),我们在开辟二维dp数组时,把长和宽都+1,然后从(i,j)=(1,1)开始遍历,这样就不会遇到boundary问题了
其次就是dp数组压缩,我们可以观察到,其实我们的二重嵌套循环就是每次循环一行,然后对于这一行的每一个元素,都根据他的dp[left]
和dp[up]
来对他进行更新,而我们可以使用一个映射,将这种二维关系(dp[left]
和dp[up]
)映射成一维关系(意思就是我们只用使用一个一维的DP数组即可)
比如
if col == 0
dp[col] = f(dp[col])// 这是因为现在的dp[up]就是dp[col],而col=0时,dp[col]的左边没东西
else
dp[col] = f(dp[col-1], dp[col])//这是因为此时 dp[left] = dp[col-1], dp[up] = dp[col]
通过上面的伪代码,你一定明白了如何将二维dp数组压缩为一维dp数组吧
这是非常经典的一道二维dp题目了,我们的解决方法有两种:求组合数和DP求解。
DP求解的话,这个问题的最优子结构为:
d p [ c u r r ] = d p [ l e f t ] + d p [ u p ] dp[curr] = dp[left] + dp[up] dp[curr]=dp[left]+dp[up]
62. Unique Paths
There is a robot on an m x n grid. The robot is initially located at the top-left corner (i.e., grid[0][0]). The robot tries to move to the bottom-right corner (i.e., grid[m - 1][n - 1]). The robot can only move either down or right at any point in time.
Given the two integers m and n, return the number of possible unique paths that the robot can take to reach the bottom-right corner.
The test cases are generated so that the answer will be less than or equal to 2 * 109.
Example 1:
Input: m = 3, n = 7
Output: 28
Example 2:
Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation: From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Down -> Down
2. Down -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Down
因为机器人只能向右或者向下走,而机器人一共要走 width + height 步,所以总的走法就是一个组合数 : C(n, m)
,其中n为height+weight, m为weight或者height
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
if(m == 1 || n == 1)
return 1;
m--, n--;
if(m < n) swap(m, n);
long res = 1;
for(int i = m+1, j
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