线性回归灵魂三问

• 什么是线性回归
  所谓线性回归实际上就是利用已知的样本（已知数据），选择一个线性方程，并对其进行拟合，并通过拟合得到的方程来对未知的数据进行预测
• 线性回归能干什么
  线性回归主要是用来预测，和判断合理性。 比如用身高预测体重，利用广告投入预测商品销售额等等。
• 线性回归的难点是什么
  难点即是重点：变量选择（多元下的重线性）、预防过拟合、模型检验。

NOTE： 一元线性回归就不在这里赘述了，一般来说想学机器学习算法的人都有一定的数学基础。

线性回归数学分析

一般线性回归

1.公式定义

就我们所知道的那样，多元的线性方程如下。
$$h_{\theta }(x)={\theta }_0{x}_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_n{x}_n$$
其中$x_0=1$表示常数项。转化成向量表达为：
$$h_{\theta }(x)={\Theta }^{T}X$$
$\Theta 、X$为一个一行n+1列的向量。
我们用参数x表示描述一个事物的属性，用h(x)表示我们对给定属性的预测。我们希望我们的预测结果符合客观事实，并且可以作为对未知事物的推测。

要使结果符合客观事实，则我们希望我们的预测结果h(x)和实际实物的标签（比如预测的类别和实际的类别）的误差尽可能的小。于是…

2. 参数求解之梯度下降

现在我们可以将问题转化成我们熟悉的数学表达模式了：
问题：我们有m个已知的样本($({\mathbf{x}}^1,y^1),({\mathbf{x}}^2,y^2)...({\mathbf{x}}^n,y^n)$), 其中$x^{(i)}$是一个n+1维的列向量。求一组参数$({\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_n)$,使得$\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(h_{\theta }({\mathbf{x}}^i)-y^i)$最小。

实际上对于上面公式的的推导，我们默认使用了一种叫做误差平方和的代价函数（预测误差的代价损失，我们希望代价函数越小越好，表示我们使用这个模型的成本越低）。也就是说如果使用不同的代价函数，则得到的误差损失的表达是不同的。 代价函数可以表示为
$$J({\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_n)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }({\mathbf{x}}^i)-y^i{)}^2$$
NOTE: 对于权值$\frac{1}{2m}$ 不必太过纠结，实际上应该是$\frac{1}{m}$，但是为了方便后续化简，添加了一个二分之一，实际上着这并不会影响我们对其参数进行求解。

接着就可以用梯度下降来优化这些参数了。对于初学者来说，可能对于像我这样的初学者来说，梯度下降不太好理解，但是在机器学习算法中，梯度下降是无处不在的。为了更加全面和完整，这里留个空位，到时如果有必要在专门来梳理一下梯度下降。
【梯度下降 】

$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J({\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_n)$$

上面这个公式，就是使用梯度下降对参数进行更新，其中$\alpha$表示学习速率，也就是沿着低度方向，向下迈进的步幅。$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J({\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_n)$表示代价函数的梯度方向。
θ j : = θ j − α ∂ ∂ θ j { 1 2 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) 2 } \theta_j:=\theta_j-\alpha \frac{\partial}{\partial \theta_j}\{\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_{\theta}(\boldsymbol x^i)-y^i)^2 \} θj​:=θj​−α∂θj​∂​{ 2m1​i=1∑m​(hθ​(xi)−yi)2}
加法的求导是可以分别求导的，所以我们可以对括号进行求导
$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}(h_{\theta }({\mathbf{x}}^i)-y^i{)}^2)=2\cdot x_j\cdot (h_{\theta }({\mathbf{x}}^i)-y^i))$$
代入上面等式，(原来的引入的那个2，就是在这里消除掉的)
$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \cdot \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(x_j\cdot (h_{\theta }({\mathbf{x}}^i)-y^i)))$$
我们通过随机一组参数，并且通过上面的梯度下降的方式直接求解，直到收敛。

3. 参数求解之正规方程

我们也可以通过直接解方程的方式获得最后优化参数。
为了很好的解释我们下面所描述的方程，请记得我们最初的向量表达: $h_{\theta }(x)={\Theta }^{T}X$
如果我们把各个学习样本的$y^i$ 组成一个向量Y，则我们需要求解的方程就可以变成
$$\underset{\theta }{\min }\sum _{i=1}^m(Y-{\Theta }^{T}X{)}^T(Y-{\Theta }^{T}X)$$
对向量$\Theta$求导(这里又是一个不好理解的点，倍感数学知识不够用啊)
$$\frac{\partial }{\partial \Theta }\sum _{i=1}^m(Y-{\Theta }^{T}X{)}^T(Y-{\Theta }^{T}X)=2\cdot X^T(X{\Theta }^T-Y)$$
令上式为0；当$(X^{T}X{)}^{-1}$存在的时候，
$${\Theta }^T=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}Y$$
如果不存在，则可以通过求伪逆的方式代替。
实际上如果从矩阵的映射的角度来分析的话，对于这个公式就好理解了，问题的关键是，但是矩阵的映射本身就不好理解。

4. 梯度下降和正规方程的对比

梯度下降	正规方程
需要选择合适的学习率	不需选择学习率
需要多次迭代获得参数	一次计算直接获得参数
使用与特征值多的模型	适用于特征值小的模型
使用于各个类型	只使用于线性模型，其他模型不适合

正规方程由于需要求矩阵的逆，一般情况，求n介矩阵的逆需要N的三次方的算法复杂度，所以当n很大的时候(一般>10000）选择梯度下降模型

对数几率回归

在分类任务中，我们希望将线性模型产生的连续的值转化为离散的0、1值用来标记各个样本。理想中我们使用单位阶跃函数来实现，如下图的红色部分。但是由于单位阶跃函数不可微，不变与计算和使用，我们找到一个可以替代单位阶跃函数的 函数。而 对数几率函数(logistic function)就是这样一种函数。

对数几率函数是一种典型的"sigmoid 函数"，所谓sigmoid 函数，就是长相是S型的函数，而对数几率函数就是其中的一种。
$$y=\frac{1}{1+e^{-{\Theta }^{T}X}}$$
通过简单的化简：
$$\ln \frac{y}{1-y}={\Theta }^{T}X$$
如果把y 考虑为正例的概率，而1-y则为反例的概率。两者的比例反映了x作为正例的相对可能性，称为“几率”。对几率取对数，则称为对数几率

实际上，y实际上使我们在X的样本存在条件下认为其为正例的概率，则可以考虑y为在x条件下的后验概率。
$$\ln \frac{p(y=1|x)}{p(y=0|x)}={\Theta }^{T}X$$
则（直接计算解方程，这两货加起来为1）
$$\begin{gathered} p(y=1|x)=\frac{e^{{\Theta }^{T}X}}{1+e^{{\Theta }^{T}X}} \\ p(y=1|x)=\frac{1}{1+e^{{\Theta }^{T}X}} \end{gathered}$$
我们希望的是，每个样本属于自己标记的概率越大越好。
接下来是一段复杂的方法，对于对数回归，先到这里，了解即可。

线性判别分析

线性判别分析 (Linear Discriminant Analysis，简称 LDA) 思想非常朴素，设法将给定样例投影到一条直 线上 ，使得同类样例的投影点尽可能接近、 异类样例 的投影点尽可能远离;在对新样本进行分类时，将其投影到同样的这条直线上，再根据投影点的位置来确定新样本的类别. 如图

线性回归的变量选择

多元线性回归的核心问题应该是变量的选择。

变量选择

变量的选择也是模型的对比，我们希望用最小的变量数来获得最好的结果。

• AIC 准则

AIC准则是由日本统计学家Akaike与1973年提出的，全称是最小化信息量准则（Akaike Information Criterion）。它是拟合精度和参数个数的加权函数：
AIC=2（模型参数的个数）-2ln（模型的极大似然函数）

这个不是太好理解，比如说模型的最大似然函数是什么呢？ 在线性模型中所谓的最大似然函数指的就是残差的倒数。

• BIC 准则

AIC为模型选择提供了有效的规则，但也有不足之处。当样本容量很大时，在AIC准则中拟合误差提供的信息就要受到样本容量的放大，而参数个数的惩罚因子却和样本容量没关系（一直是2），因此当样本容量很大时，使用AIC准则选择的模型不收敛与真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多。BIC（Bayesian InformationCriterion）贝叶斯信息准则是Schwartz在1978年根据Bayes理论提出的判别准则，称为SBC准则(也称BIC)，弥补了AIC的不足。
BIC = ln(n)(模型中参数的个数) - 2ln(模型的极大似然函数值)

• 基于误差的准则

当把预测当成主要任务和目标的时候，通过预测误差作为判断模型的指标
$$PE=E||y-y^{{}^{\prime }}|{|}^2$$

线性回归的训练

多分类的学习

核心思路是拆解法，将类别分界，通过一对一，一对多，多对多
一对一
两两分类，选择分类多的一种
一对多
一和其余分类，选择正例
多对多
先对种类分组，而后在分

类别不平衡的问题

现有技术大体上有三类做法:

1. 第一类是直接对训练集里的反类样例进行"欠采样" (undersampling) ，即去除一些反倒使得正、反例数日接近7 然后再进行学习;

2. 第二类是对训练集里的正类样例进行"过来样" (oversampling) ，即增加一些正例使得正、反例数目接近，然后再进行学习;

3. 第三类则是直接基于原始训练集进行学习，但在用训练好的分类器进行预测时，将类别比例关系嵌入到其决策过程中，称为"阔值移动" (threshold-moving)