本篇文章主要总和动态规划中常见类型的模板，详细的讲解在每个知识点下的链接中。

目录

1-背包问题

 01背包：

 完全背包：

 多重背包：

2-线性dp

 数字三角形 

 最长上升子序列 （ LIS ）

 最长公共子序列（Lcs）

 最短编辑距离：

3-区间动态规划

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入门

   动态规划是从暴力dfs慢慢优化出来的算法，以本篇入门了解dp思想，之后再系统学习各类。

动态规划入门：从暴力dfs到dp-程序员宅基地

从跳台阶开始dp优化：三种解法 + 详细解读-程序员宅基地

 递归与递推：

• 递归：自上向下，把问题分解为子问题，直到分解到最下，通过记录子问题的解，来使下次碰到子问题时直接使用之前的记录
• 递推：自底向上，从边界出发，不断向上解决问题

1-背包问题 

  注意！ 

•   一维dp中，01背包和多重背包的j是从V~0遍历，完全背包是从0~V   
• 存储时都要从1开始，因为涉及到i - 1的处理

 01背包：

从01背包开始动态规划：暴力解法 + dp + 滚动数组 + dp优化-程序员宅基地

f [ i ] [ j ] 表示在选到第 i 个物品，背包剩余体积为 j 时的最大总价值

二维数组：

 for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = 0;j <= V;j++){
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i])
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

一维数组：

for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = V;j >= 0 ;j--){
            if(j >= v[i]) {
                f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }

 完全背包：

完全背包的动态规划：暴力dfs + dp + dp优化-程序员宅基地

二维数组：

for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = 0;j <= V;j++){
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i])
                f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
}

一维数组：

 for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = 0;j <= V;j++){
            if(j >= v[i])
                f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

 多重背包：

多重背包的动态规划：暴力dfs + dp + dp优化-程序员宅基地

二维数组：

for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = 0;j <= V;j++){
           f[i][j] = f[i - 1][j];
            for(int k = 1;k <= s[i];k++){
                
                if(j >= v[i] * k)
                    f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
            }
            
        }
    }

一维数组：

 for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = V;j >= 0;j--){
            for(int k = 1;k <= s[i];k++){
                
                if(j >= v[i] * k)
                    f[j] = max(f[j],f[j - v[i] * k] + w[i] * k);
            }
            
        }
    }

2-线性dp

线性dp是指所有的状态转移方程之间存在线性关系，即可以通过计算来求出结果

 数字三角形 

动态规划入门：从暴力dfs到dp-程序员宅基地

f[ i ] [ j ]表示到第i行第i列的最大和，本题采用倒序，即从树的最下面开始遍历

二维数组：

for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + mp[i][j];
		}
	}

一维数组：

for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			f[j] = max(f[j], f[j + 1]) + mp[i][j];
		}
	}

 最长上升子序列 （ LIS ）

最长上升子序列的动态规划：暴力dfs + 记忆化搜索 + dp-程序员宅基地

f [ i ] 表示以第i个数为结尾，最长的上升子序列个数。然后对i之前的数进行遍历，以此求出f [ i ]

 for(int i = 0;i < n;i++){
        f[i] = 0;
        for(int j = 0;j < i;j++){
            if(nums[j] < nums[i])
                f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
        }
        res = max(res,f[i]);
    }

 最长公共子序列（Lcs）

最长公共子序列详解：状态表示的两种方法-程序员宅基地

本题有两种状态表示的方法，将其分类为a[ i ] 与 b[ i ] 是否相等更便于理解

 for(int i = 1;i <= m;i++){
        for(int j = 1;j <= n;j++){
            if(a[i] == b[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
            else f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
        }
    }

 最短编辑距离：

最短编辑距离：递推公式详解-程序员宅基地

 for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j <= m;j++){
            f[i][j] = min(f[i - 1][j],f[i][j - 1]) + 1;
            if(a[i] == b[j]) f[i][j] = min(f[i][j],f[i - 1][j - 1]);
            else f[i][j] = min(f[i][j],f[i - 1][j - 1] + 1);
        }
    }

3-区间动态规划

石子合并与果子合并：区间动态规划和贪心-程序员宅基地

 for(int len = 2;len <= n;len++){
        for(int i = 1;i + len - 1 <= n;i++){
            int l = i,r = i + len - 1;
            f[l][r] = 1e8;
            for(int k = l;k < r;k++)
                f[l][r] = min(f[l][r],f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
        }
    }

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