1488 帕斯卡小三角

· f(1,j)=a[j], 1≤j≤n.
· f(i,j)=min(f(i-1,j),f(i-1,j-1))+a[j], 2≤i≤n, i≤j≤n.
a是一个长度为n的数组。现在有若干个询问，输入x,y，求f(x,y)

Input
单组测试数据。
第一行有一个整数n (1 ≤ n ≤ 10^5)，表示a的长度。
第二行有n个整数a[1], a[2],…,a[n](0 ≤ a[i] ≤ 10^4)。
接下来一行有一个整数m(1 ≤ m ≤ 10^5)表示询问次数。
接下来m行每行有两个整数xi, yi(1 ≤ xi ≤ yi ≤ n)。
Output
输出m行，对应f(xi,yi)。
Input示例
6
2 2 3 4 3 4
4
4 5
3 4
3 4
2 3
Output示例
12
9
9
5

【分析】

一道很神奇的题目。

首先我们需要开启脑洞，观察到对于一个$(x,y)$的答案，如果把它的转移过程在三角形上的路径标出来，那么这条路径一定是由第一行某个点$(1,s)$，竖直向下转移到$(y-x+1,s)$，然后再沿一条斜率为-1的直线转移到$(x,y)$

然后得到朴素算法：用s数组记录a数组的前缀和，扫一遍y坐标左边的点$(1,s)(s<=y)$，不断更新答案。

观察到如果$(1,k)$位置比$(1,j)$位置答案更优，且$k<j$。那么可以列出一个奇葩的不等式。

化简得到 $\frac{(s[k]-a[k]*k)-(s[j]-a[j]*j)}{a[k]-a[j]}<x-y$

这是一个可以斜率优化的东西。

所以我们可以维护一个上凸壳。将询问的以 y <script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">y</script>为关键字排序，每遇到一组询问，在凸壳中二分出合法的左端点，然后再在合法区间内二分出最优答案。

早上和中午为维护上凸壳还是下凸壳的问题纠结了很久2333…笨

【代码】

//51nod 1488 帕斯卡小三角
#include<bits/stdc++.h>
#define D double
#define ll long long
#define M(a) memset(a,0,sizeof a)
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
using namespace std;
const int mxn=100005;
int n,m,T,top;
struct query {
   int x,y,id;} q[mxn];
int a[mxn],s[mxn],sta[mxn],ans[mxn];
inline bool comp(query a,query b)
{
    return a.y<b.y;
}
inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}
inline D g(int k,int j)
{
    return ((D)(s[k]-a[k]*k)-(D)(s[j]-a[j]*j))/(D)(a[k]-a[j]);
}
inline int find(int x)
{
    int l=1,r=top;
    while(l<r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        if(sta[mid]<x) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    return l;
}
int main()
{
    int i,j;
    n=read();
    fo(i,1,n) a[i]=read();
    fo(i,1,n) s[i]=s[i-1]+a[i];
    m=read();
    fo(i,1,m)
    {
        q[i].x=read();
        q[i].y=read();
        q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+m+1,comp);
    for(i=1,j=1;i<=n;i++)
    {
        while(top && a[sta[top]]>=a[i]) top--;
        while(top>1 && g(sta[top],i)>=g(sta[top-1],i)) top--;
        sta[++top]=i;
        while(q[j].y==i && j<=m)
        {
            int l=find(q[j].y-q[j].x),r=top;
            while(l<r)
            {
                int mid=l+r>>1;
                if(g(sta[mid],sta[mid+1])<q[j].x-q[j].y) r=mid;
                else l=mid+1;
            }
            l=sta[l],r=q[j].y;
            ans[q[j].id]=s[r]-s[l]+(q[j].x-(r-l))*a[l];
            j++;
        }
    }
    fo(i,1,m) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}