前言

在本文中，会介绍为什么要引入最小函数依赖集，最小函数依赖集是什么，以及如何求最小函数依赖集。

为什么需要最小函数依赖集

在关系数据模型中，一个关系通常由R(U,F)构成，U为属性的全集，F为函数依赖集。在实际生活中，我们可以根据语义来定义关系中属性的依赖关系，例如学号可以唯一确定一位学生的姓名、性别等等。但是，有时候给出的函数依赖集并不是最简的，这有时会拖累我们对关系的后续处理，例如关系的分解、判断是否为无损分解等。所以，我们在必要时，需要对函数依赖集进行化简，这就是需要最小函数依赖集的原因。
在正式介绍最小函数依赖集之前，还需要了解一个概念，那就是闭包。准确的说是属性集X关于函数依赖集F的闭包。

闭包

闭包分为两种，一种是函数依赖集F的闭包，另外一种是属性集X关于函数依赖集F的闭包。前者不做讨论，重点说说后者。先来看定义

设F为属性集U上的一组函数依赖集，X、Y $\in$U，$X_F^{+}$= { A|X$\to$A能由F根据Armstrong公理导出}，$X_F^{+}$称为属性集X关于函数依赖集F的闭包。

说白了，就是给定属性集X，根据现有的函数依赖集，看其能推出什么属性。
这里的Armstrong公理系统不用深究，想具体了解的可以点击查看百度百科。
举例：

已知关系模式R<U,F>，其中：
U = { A，B，C，D，E}，
F = { AB $\to$ C，B$\to$D，C$\to$E，EC$\to$B，AC$\to$B}
求$(AB{)}_F^{+}$。

解：

从AB出发，此时我们的集合里已经包含了{A，B}。
我们从现有的函数依赖集中可知，
AB可以推出C，于是C加入集合，
B可以推出D，于是D加入集合，
C可以推出E，于是E加入集合，
EC可以推出B，因为C、E、B都在集合中，于是不加入，
AC可以推出B，因为A、B、C都在集合中，于是不加入
至此，可求得$(AB{)}_F^{+}$ ={A、B、C、D、E}。

最小函数依赖集

定义

如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集，亦称为最小依赖集或最小覆盖。
(1)、F中任一函数依赖右部仅含有一个属性。
(2)、F中不存在这样的函数依赖 X$\to$A，使得F与F-{X$\to$A} 等价。
(3)、F中不存在这样的函数依赖X$\to$A，X有真子集Z使得F-{X$\to$A}$\bigcup${ Z$\to$A} 与F等价。

解释

以上定义翻译成大白话就是，一个函数依赖集F要想称为最小函数依赖集，要满足以下三点：
1、F中任一函数依赖的右边只有一个属性。
2、F中不存在这样的函数依赖：从现有的函数依赖集中删除一个函数依赖X$\to$A，删除后所得的函数依赖集与原来的函数依赖集等价，这样的函数依赖是不允许存在的。
3、F中不存在这样的函数依赖：假设函数依赖集中存在AB$\to$Y，现对该依赖的左部进行化简，即删除A，得B$\to$Y；或删除B，得A$\to$Y，若经过化简后的函数依赖集与没有化简前的函数依赖集等价，那么这样的函数依赖是不允许存在的。

算法

1、首先，先利用函数依赖的分解性，将函数依赖集中右部不为单个属性的分解为单属性。

2、对于经过第1步筛选后的函数依赖集F中的每一个函数依赖X$\to$A，进行以下操作：

• 2.1、将X$\to$A从函数依赖中剔除
• 2.2、基于剔除后的函数依赖，计算属性X的闭包，看其是否包含了A，若是，则该函数依赖是多余的(这里体现出前面说的等价，因为如果基于化简后的函数依赖依赖，计算X的闭包依然包含A，则说明A可以由其他依赖推出，X$\to$A不是必须的)，可以删除，否则不能删除

3、对于经过第2步筛选后的函数依赖集F中每个左部不为单个属性的函数依赖AB$\to$Y，进行以下操作：
我们约定，经过第二步筛选后的函数依赖集记为F1，经过第三步处理后的函数依赖集为F2。

• 3.1、去除A，得B$\to$Y，得F2，基于F1和F2计算属性B的闭包，如果二者相等，则说明它们是等价的，A可以去除；如果不相等，则A不能去除。
• 3.2、去除B，得A$\to$Y，得F2，基于F1和F2计算属性A的闭包，如果二者相等则说明它们是等价的，B可以去除；如果不相等，则B不能去除。

知识链接：函数依赖的分解性
若X$\to$YZ，则X$\to$Y 且 X$\to$Z。

举例

关系模式R(U，F)中，U={A，B，C，D，E，G}，F={B$\to$D，DG$\to$C,BD$\to$E,AG$\to$B,ADG$\to$BC}；求F的最小函数依赖集。

解：
1、首先根据函数依赖的分解性，对F进行第一次筛选，需要变动的有：
ADG$\to$BC拆解成ADG$\to$B、ADG$\to$C
得新函数依赖集：
F = {B$\to$D,DG$\to$C,BD$\to$E,AG$\to$B,ADG$\to$B,ADG$\to$C}

2、筛选多余的函数依赖

• 2.1：去除B$\to$D，得F = {DG$\to$C,BD$\to$E,AG$\to$B,ADG$\to$B,ADG$\to$C}，$B_F^{+}$ = {B}，不包含D，故B$\to$D不删除。
• 2.2：去除DG$\to$C，得F = {B$\to$D、BD$\to$E,AG$\to$B,ADG$\to$B,ADG$\to$C}，$(DG{)}_F^{+}$={D,G}，不包含C，故DG$\to$C不删除。
• 2.3：去除BD$\to$E，得F = {B$\to$D,DG$\to$C,AG$\to$B,ADG$\to$B,ADG$\to$C}，$(BD{)}_F^{+}$ = {B,D}，不包含E，故BD$\to$E不删除。
• 2.4：去除AG$\to$B，得F = {B$\to$D,DG$\to$C,BD$\to$E,ADG$\to$B,ADG$\to$C}，$(AG{)}_F^{+}$ = {A,G}，不包含B，故AG$\to$B不删除。
• 2.5：去除ADG$\to$B，得F = {B$\to$D,DG$\to$C,BD$\to$E,AG$\to$B,ADG$\to$C}，$(ADG{)}_F^{+}$ = {A,D,G,C,B,E}，包含B，故ADG$\to$B去除。
• 2.6：去除ADG$\to$C，得F = {B$\to$D,DG$\to$C,BD$\to$E,AG$\to$B,ADG$\to$B}，$(ADG{)}_F^{+}$ = {A,D,G,C,B,E}，包含C，故ADG$\to$C去除。
  经过第二部筛选后，函数依赖集F变为{B$\to$D,DG$\to$C,BD$\to$E,AG$\to$B}。

3、化简函数依赖左侧不为单个属性的函数依赖

• 3.1：先看DG$\to$C
  • 3.1.1：去除D，得G$\to$C，得函数依赖集F1 = {B$\to$D,G$\to$C,BD$\to$E,AG$\to$B}。
    基于F1，可求得$G_F^{+}$ = {G,C}。
    基于F(第二步求出的，下同)，可求得$G_F^{+}$ = {G}
    可见二者并不相同，所以D不去除。
  • 3.1.2：去除G，得D$\to$C，得函数依赖集F1 = {B$\to$D,D$\to$C,BD$\to$E,AG$\to$B}
    基于F1，可求得$D_F^{+}$ = {D,C}
    基于F，可求得$D_F^{+}$ ={D}
    可见二者并不相同，所以G不去除。

综上，DG$\to$C，已是最简。

• 3.2：再看BD$\to$E
  • 3.2.1：去除B，得D$\to$E，得函数依赖集F1 = {B$\to$D,DG$\to$C,D$\to$E,AG$\to$B}
    基于F1，可求得$D_F^{+}$ = {D,E}
    基于F，可求得$D_F^{+}$ = {D}
    可见二者并不相同，所以B不去除。
  • 3.2.2：去除D，得B$\to$E，得函数依赖集F1 = {B$\to$D,DG$\to$C,B$\to$E,AG$\to$B}
    基于F1，可求得$B_F^{+}$ = {B,E,D}
    基于F，可求得$B_F^{+}$ = {B,D,E}
    可见二者相同，所以D可以去除。

综上，BD$\to$E，可化简为B$\to$E。

• 3.3：最后看AG$\to$B
  • 3.3.1：去除A，得G$\to$B，得函数依赖集F1 = {B$\to$D,DG$\to$C,B$\to$E,G$\to$B}
    基于F1，可求得$G_F^{+}$ = {G,B}
    基于F，可求得 $G_F^{+}$ = {G}
    可见二者并不相同，所以A不可去除。
  • 3.3.2：去除G，得A$\to$B，得函数依赖F1 = {B$\to$D,DG$\to$C,B$\to$E,A$\to$B}
    基于F1，可求得$A_F^{+}$ = {A,B}
    基于F，可求得$A_F^{+}$ = {A}
    可见二者并不相同，所以G不可去除。

综上，AG$\to$B，已是最简。
综上，R的最小函数依赖集为F = {B$\to$D,DG$\to$C,B$\to$E,AG$\to$B}

写在最后

这个问题是我在考研复试的时候复习过程中遇到的，主要的纠结点在于第三步的判断上，查资料的时候发现网上很多都没有写清，最后还是在度娘的文库里找到了比较清楚的解释，在此做一下思路的整理。
本文定义以及例子参考自：

• 《数据库系统概论（第五版）》 王珊 萨师煊 编著 清华大学出版社
• CSDN 博文 数据库建模和设计（2）：函数依赖、闭包、最小函数依赖集、范式、模式分解