腐蚀和膨胀是图像应用中比较广泛的操作，笔者尽量让从未接触过腐蚀和膨胀的读者看完这篇博客就能明白。

概念

结构元

首先需要熟悉几个概念，结构元它就是用来操作图像的一种空间上的模板，它通常有以下几种形状，其中的小黑点代表原点，原点不一定位于几何尺寸对齐的位置，它可以在结构元内的任意位置。下图第一行是结构元的原始的形状，第二行是计算机在操作图像时要求将结构元填充成矩形（要尽可能的少填充元素）。

集合A

被结构元操作的一系列元素，这些元素在图像中可以理解为图像中每个像素点的二维位置。下图中A就是一个集合，B就是结构元。

结构元在集合A上的操作

• 将结构元的原点与集合A的原点对齐，对上图来说，通常就将A的左上角定为集合A的原点。
• 不断平移结构元B的原点，让其能够访问集合A上所有的元素。（平移的时候，结构元其他点位置相对于原点位置保持不变）。

当将上图中，结构元B原地平移到集合A的原点处(A左上角)，会发现结构元B的其他元素已经超出了集合A的范围，在计算机中处理要求对集合A进行填充至矩形，并且能够刚好容纳结构元B。填充效果如下图所示：

集合符号

$\in$表示属于，代表元素与集合的关系，例如
A = { 1 , 2 , 3 , 4 } 1 ∈ A A = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \}\\ 1\in A A={ 1,2,3,4}1∈A

$\subseteq$表示包含，代表集合与集合的关系，例如
A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ， B = { 1 , 2 } B ⊆ A A = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \}，B= \{1,2\}\\ B\subseteq A A={ 1,2,3,4}，B={ 1,2}B⊆A

腐蚀操作

( B ) z = { c ∣ c = b + z ， b ∈ B } (B)_z =\{c|c = b+z，b\in B\} (B)z​={ c∣c=b+z，b∈B}

b代表所有属于结构元B的元素，很明显$(B{)}_z$就代表结构元B平移z后的集合。

B对A腐蚀表示为：
A ⊖ B = { z ∣ ( B ) z ⊆ A } A\ominus B=\{z|(B)_z\subseteq A\} A⊖B={ z∣(B)z​⊆A}

也就是结构元B平移z后依然包含在集合A中所有的z的集合。又可以表示为
A ⊖ B = { z ∣ ( B ) z ∩ A c = ∅ } A\ominus B=\{z|(B)_z \cap A^c = \varnothing \} A⊖B={ z∣(B)z​∩Ac=∅}
$A^c$是集合A的补集，也就是不在集合A中的其他元素。

以下图为例：

• 初始的集合A和结构B

• 平移结构元B原点结构元B原地平移到集合A的原点处(A左上角)

• 平移z的结构元B，找到第一个平移z后结构元B依然包含在集合A内。

因为平移的z是以原点为参考的，所以这个z就是下图红色的位置。

• 直到找到所有平移z后结构元B依然包含在集合A。得到如下图的结果
  

其中白色代表被结构元B处理后不满足腐蚀结果的位置，红色代表满足腐蚀处理后的位置。相当于被腐蚀后的集合A边界小了一圈，对应于图像操作中能够去除孤立的点。

膨胀操作

( B ^ ) z = { w ∣ w = − b , b ∈ B } (\hat B)_z = \{w|w=-b,b\in B\} (B^)z​={ w∣w=−b,b∈B}

b代表所有属于结构元B的元素，很明显$(\hat{B}{)}_z$就代表结构元B在原点处反转后的集合。对于原点对称的结构元B
$$(\hat{B}{)}_z=(B{)}_z$$
B对A膨胀表示为：
A ⊕ B = { z ∣ ( B ^ ) z ∩ A ≠ ∅ } A\oplus B=\{z|(\hat B)_z\cap A \neq \varnothing\} A⊕B={ z∣(B^)z​∩A​=∅}

也就是反转后的结构元B平移z后与集合A的交集不为空的所有z的集合。又可以表示为:
A ⊕ B = { z ∣ [ ( B ^ ) z ∩ A ] ⊆ A } A\oplus B=\{z|[(\hat B)_z\cap A] \subseteq A\} A⊕B={ z∣[(B^)z​∩A]⊆A}
以下图为例：

• 初始的集合A和结构B
  

• 沿着结构元B的原点将结构元B反转，因为结构元B关于原点对称，因此反转后的与未反转一致。

• 平移反转后的结构元B原点到集合A的原点处(A左上角)

• 平移z的反转结构元B，找到第一个平移z后的反转结构元B与集合A交集不为空。

同样平移的z是以原点为参考的，所以这个z就是下图红色的位置。

• 直到找到所有平移z后的反转结构元B与集合A交集不为空。得到如下图的结果。

其中蓝色和红色都代表被反转结构元B处理后符合膨胀的位置，红色代表被膨胀后多出来的位置，蓝色代表原来集合A的位置，相当于被膨胀后的集合A边界外扩了一圈，对应于图像操作中能够连接相对靠进孤立的点。

对偶操作

对于结构元B原点位于几何对称的位置时，有
$$(\hat{B}{)}_z=(B{)}_z$$

• 结构元B对A腐蚀的补集等于结构元B对A补集的膨胀

( A ⊖ B ) c = { z ∣ ( B ) z ⊆ A } c = { z ∣ ( B ) z ∩ A c = ∅ } c = { z ∣ ( B ^ ) z ∩ A c = ∅ } c = { z ∣ ( B ^ ) z ∩ A c ≠ ∅ } = ( A c ⊕ B ) \begin{aligned} (A\ominus B)^c&=\{z|(B)_z\subseteq A\}^c\\ &=\{z|(B)_z\cap A^c = \varnothing\}^c\\ &=\{z|(\hat B)_z\cap A^c = \varnothing\}^c\\ &=\{z|(\hat B)_z\cap A^c \neq \varnothing\}\\ &=(A^c\oplus B) \end{aligned} (A⊖B)c​={ z∣(B)z​⊆A}c={ z∣(B)z​∩Ac=∅}c={ z∣(B^)z​∩Ac=∅}c={ z∣(B^)z​∩Ac​=∅}=(Ac⊕B)​

• 结构元B对A膨胀的补集等于结构元B对A补集的腐蚀

( A ⊕ B ) c = { z ∣ ( B ^ ) z ∩ A ≠ ∅ } c = { z ∣ ( B ^ ) z ∩ A = ∅ } = { z ∣ ( B ^ ) z ⊆ A c } = { z ∣ ( B ) z ⊆ A c } = ( A c ⊖ B ) \begin{aligned} (A\oplus B)^c&=\{z|(\hat B)_z\cap A\neq \varnothing \}^c\\ &=\{z|(\hat B)_z\cap A = \varnothing\}\\ &=\{z|(\hat B)_z \subseteq A^c\}\\ &=\{z|( B)_z\subseteq A^c\}\\ &=(A^c\ominus B) \end{aligned} (A⊕B)c​={ z∣(B^)z​∩A​=∅}c={ z∣(B^)z​∩A=∅}={ z∣(B^)z​⊆Ac}={ z∣(B)z​⊆Ac}=(Ac⊖B)​