技术标签: 《算法导论》(原书第3版)练习和思考题答案
证明:为了找到n个元素中第二小的元素,先需要n-1次比较找到最小元素。然后可以断言:第二小的元素就在与最小元素比较过的元素中。因为如果第二小的元素没有和最小元素比较过,那就无法确定它们两者之间的大小关系。在寻找最小元素的过程中,先将输入元素两两分组进行比较,再将所有组中较小的元素两两分组进行比较,重复此步骤直至找到最小元素,易得:与最小元素比较过的元素数为,从这些元素中找到第二小的元素需要次比较。因此,在最坏情况下,找到n个元素中第二小的元素需要次比较。
证明:
因此,在RANDOMIZED-SELECT中,对长度为0的数组,不会进行递归调用。
证明:=I{子数组A[p..q]正好包含k个元素},A[k]表示被选作主元的元素也即当前划分,而T(max(k-1,n-k))表示之后选择所需要的时间。从字面意思上能够看出,当前划分与之后的选择所需要的时间完全没有关系,因此,指示器随机变量和T(max(k-1,n-k))是独立的。
RANDOMIZED-SELECT的一个基于循环的版本。
RANDOMIZED-SELECT-ITERATIVE(A, p, r, i)
while r ≥ p
if p == r
return A[p]
q = RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
k = q - p + 1
if i == k // the pivot value is the answer
return A[q]
else if i < k
r = q - 1
else
p = q + 1
i = i - k
假设用RANDOMIZED-SELECT去选择数组A=<3,2,9,0,7,5,4,8,6,1>的最小元素,能够导致RANDOMIZED-SELECT最坏情况发生的一个划分序列:主元出现的顺序为数组A中所有元素的逆序排列。
在算法SELECT中,如果输入元素被分为每组7个元素,该算法仍然会是线性时间。
证明:在算法SELECT中,如果输入元素被分为每组3个元素,SELECT的运行时间不是线性的。
为分析SELECT的运行时间,先要确定大于划分主元x的元素个数的下界。在第2步找出的中位数中,至少有一半大于或等于中位数的中位数x。因此,在这个组中,除了当n不能被3整除时产生的所含元素少于3的那个组和包含x的那个组之外,至少有一半的组中有2个元素大于x。不算这两个组,大于x的元素个数至少为:。类似地,至少有n/5-4个元素小于x。因此,在最坏情况下,在第5步中,SELECT的递归调用最多作用于4n/5+4个元素。
现在,可以设计一个递归式来推导SELECT算法的最坏情况运行时间T(n)了。步骤1、2和4需要O(n)时间。(步骤2是对大小为O(1)的集合调用O(n)次插入排序。)步骤3所需时间为,步骤5所需时间至多为T(4n/5+4)。这里,假设T是单调递增的。根据上述假设,可以得到如下递归式:。用替换法来证明这个运行时间不是线性的。更明确地说,将证明对某个适当大的常数c和所有的n>0,有。首先,挑选一个常数a,使得对所有的n>0,上述公式中的O(n)项所对应的函数(用来描述算法运行时间中的非递归部分)有上界an。其次,假设对某个适当大的常数c,有。将这个归纳假设代入上述递归式的右边,得到:。所以,。
因此,在算法SELECT中,如果输入元素被分为每组3个元素,SELECT的运行时间不是线性的。
证明:根据9.3节中对SELECT的分析,至少3n/10-6个元素大于中位数的中位数x,至少3n/10-6个元素小于x。当时,。因此,如果,则至少个元素大于中位数的中位数x,至少个元素小于x。
可以像SELECT算法那样,在PARTITION中按中位数的中位数x对输入数组进行划分。根据练习9.3-2,在最坏情况下,每次划分都将数组分成1/4和3/4两个部分,可以得到如下递归式:。根据练习4.4-9,。
假设已经有了一个最坏情况下是线性时间的用于求解中位数的“黑箱”子程序。设计一个能在线性时间内解决任意顺序统计量的选择问题算法。
LINEAR-SELECT(A, p, r, i)
if p == r
return A[p]
o = MEDIAN-SELECT(A, p, r)
exchange A[r] with A[o]
q = PARTITION(A, p, r)
k = q - p + 1
if i == k
return A[q]
else if i < k
return LINEAR-SELECT(A, p, q-1, i)
else return LINEAR-SELECT(A, q+1, r, i-k)
对一个包含n个元素的集合来说,k分位数是指能把有序集合分成k个等大小集合的第k-1个顺序统计量。给出一个能找出某一集合的k分位数的时间的算法。
k-QUANTILE-SELECT(A, p, r, k)
if k > 1
m = (r-p+2) / k * ⌊k/2⌋
a = SELECT(A, p, r, m)
b = k-QUANTILE-SELECT(A, p, p+m-2, ⌊k/2⌋)
c = k-QUANTILE-SELECT(A, p+m, r, k-⌊k/2⌋)
return a, b, c
设计一个O(n)时间的算法,对于一个给定的包含n个互异元素的集合S和一个正整数,该算法能够确定S中最接近中位数的k个元素。
CLOSEST-TO-MEDIAN(A, p, r, k)
median = ⌈(r-p) / 2⌉
exchange A[r] with A[median]
PARTITION(A, p, r)
left = SELECT(A, p, p+median-1, median-k+1)
exchange A[p+median-1] with A[left]
PARTITION(A, p, p+median-1)
right = SELECT(A, p+median+1, r, k)
exchange A[r] with A[right]
PARTITION(A, p+median+1, r)
let closest[1..2k] be a new array
index = 1
for i = p+median-k to p+median-1
closest[index] = |A[i] - A[median]|
index = index + 1
for i = p+median+1 to p+median+k
closest[index] = |A[i] - A[median]|
index = index + 1
closest_median = SELECT(closest, 1, 2k, k)
exchange closest[2k] with closest[closest_median]
PARTITION(closest, 1, 2k)
return closest[1, k]
设X[1..n]和Y[1..n]为两个数组,每个都包含n个有序的元素。设计一个时间的算法来找出数组X和Y中所有2n个元素的中位数。
MEDIAN-IN-TWO-ARRAYS(X, a, b, Y, c, d)
if X[⌊(a+b) / 2⌋] == Y[⌊(c+d) / 2⌋]
return X[⌊(a+b) / 2⌋]
else if X[⌊(a+b) / 2⌋] < Y[⌊(c+d) / 2⌋]
MEDIAN-IN-TWO-ARRAYS(X, ⌊(a+b)/2⌋, b, Y, c, ⌊(c+d)/2⌋ - 1)
else
MEDIAN-IN-TWO-ARRAYS(X, a, ⌊(a+b)/2⌋ - 1, Y, ⌊(c+d)/2⌋, d)
当n是偶数时,主管道的最优位置在所有油井的y坐标的第n/2个和第n/2+1个顺序统计量之间;当n是奇数时,主管道的最优位置在所有油井的y坐标的第(n+1)/2个顺序统计量。
证明:
设所有油井的y坐标的全序为,当主管道从开始向下移动距离d,且没有越过时,总距离变化了。当2i-n<0即i<n/2时,总距离变小;当2i-n>0即i>n/2时,总距离变大。
当n是偶数时,主管道从开始向下移动时,总距离不变,所以主管道的最优位置在和之间;当n是奇数时,主管道从开始向下移动时,总距离变小,主管道从开始向下移动时,总距离变大,所以主管道的最优位置在。
因为1个或2个顺序统计量可以在线性时间内确定,所以,主管道的最优位置可以在线行时间内确定。
给定一个包含n个元素的集合,利用基于比较的算法找出按顺序排列的前i个最大元素。设计能实现下列每一项要求,并且具有最佳渐进最坏情况运行时间的算法,以n和i来表示算法的运行时间。
a.对输入数据排序,并找出前i个最大数:
FIRST-I-LARGEST(A, i)
n = A.length
MERGE-SORT(A, 1, n)
let i_largest[1..i] be a new array
index = 1
for j = n-i+1 to n
i_largest[index] = A[j]
index = index + 1
return i_largest
算法的运行时间为。
b.对输入数据建立一个最大优先队列,并调用EXTRACT-MAX过程i次。
FIRST-I-LARGEST(A, i)
n = A.length
BUILD-MAX-HEAP(A)
let i_largest[1..i] be a new array
for j = i to 1
i_largest[j] = HEAP-EXTRACT-MAX(A)
return i_largest
算法的运行时间为。
c.利用一个顺序统计量算法来找到第i大的元素,然后用它作为主元划分输入数组,再对前i大的数排序。
FIRST-I-LARGEST(A, i)
n = A.length
pivot = SELECT(A, 1, n, n-i+1)
exchange A[n] with pivot
PARTITON(A, 1, n)
let i_largest[1..i] be a new array
index = 1
for j = n-i+1 to n
i_largest[index] = A[j]
index = index + 1
MERGE-SORT(i_largest, 1, i)
return i_largest
算法的运行时间为。
a.证明:假设的中位数是,即是的第个顺序统计量。,。因此,的中位数就是的带权中位数。
b.利用排序,设计一个最坏情况下时间的算法,可以得到n个元素的带权中位数。
WEIGHTED-MERGE(X, W, p, q, r)
n1 = q - p + 1
n2 = r - q
let A[1..n1+1], B[1..n1], C[1..n2+1] and D[1..n2] be new arrays
for i = 1 to n1
A[i] = X[p + i - 1]
B[i] = W[p + i - 1]
for j = 1 to n2
C[j] = X[q + j]
D[j] = W[q + j]
A[n1 + 1] = ∞
C[n2 + 1] = ∞
i = 1
j = 1
for k = p to r
if A[i] ≤ C[j]
X[k] = A[i]
W[k] = B[i]
i = i + 1
else X[k] = C[j]
W[k] = D[j]
j = j + 1
WEIGHTED-MERGE-SORT(X, W, p, r)
if p < r
q = ⌊(p+r) / 2⌋
WEIGHTED-MERGE-SORT(X, W, p, q)
WEIGHTED-MERGE-SORT(X, W, q+1, r)
WEIGHTED-MERGE(X, W, p, q, r)
WEIGHTED-MEDIAN(X, W)
n = X.length
WEIGHTED-MERGE-SORT(X, W, 1, n)
weight_sum = 0
for i = 1 to n
weight_sum = weight_sum + W[i]
if weight_sum ≥ 1/2
return X[i]
c.利用像9.3节的SELECT这样的线性时间中位数算法,在最坏情况时间内求出带权中位数。
MARKED-PARTITION(X, W, p, r)
x = X[r]
i = p - 1
for j = p to r-1
if X[j] ≤ x
i = i + 1
exchange X[i] and X[j]
exchange W[i] and W[j]
exchange X[i+1] with X[r]
exchange W[i+1] with W[r]
return i+1
WEIGHTED-MEDIAN(X, W, p, r, i)
if p == q
return X[p]
q = MARKED-PARTITION(X, W, p, r)
weight_sum = 0
for j = p to q-1
weight_sum = weight_sum + W[j]
if weight_sum < i and weight_sum+W[q] ≥ i
return X[r]
else if weight_sum < i
return WEIGHTED-MEDIAN(X, W, q+1, r, i-weight_sum-W[q])
else return WEIGHTED-MEDIAN(X, W, p, q-1, i)
d.证明:
当点p从开始向右移动距离d,且没有越过时,变化了。当即时,变小;当即时,变大。所以,使得最小的点p是的带权中位数。
因此,对一维邮局位置问题,带权中位数是最好的解决方法,其中,每个点都是一个实数,点a与b之间的距离是d(a,b)=|a-b|。
e.二维邮局位置问题的最好解决方法:其中的点是(x,y)的二维坐标形式,点与之间的距离是Manhattan距离,即。
分别找出的带权中位数x和的带权中位数y,使得最小的点p的坐标是(x,y)。
a.设计一个能用次比较在n个元素中找出第i小元素的算法,其中,。(提示:从个不想交对的两两比较开始,然后对由每对中的较小元素构成的集合进行递归。)
SMALL-ORDER-STATISTIC(A, p, r, i)
if p == r
return A[p]
let R[1..⌈(r-p+1) / 2⌉] and S[1..⌈(r-p+1) / 2⌉] be a new array
index = p
for j = 1 to ⌈(r-p+1) / 2⌉
if index + 1 > r or A[index] ≤ A[index+1]
S[j] = A[index]
R[j] = index
else S[j] = A[index+1]
R[j] = index + 1
index = index + 2
// S now contains the elements smaller in comparison
// R now contains the index of elements smaller in comparison
s = SMALL-ORDER-STATISTIC(S, 1, ⌈(r-p+1) / 2⌉, i)
exchange S[⌈(r-p+1) / 2⌉] with s
exchange R[⌈(r-p+1) / 2⌉] with s
MARKED-PARTITION(S, R, 1, ⌈(r-p+1) / 2⌉)
let T[1..2i] be a new array
for j = 1 to i
T[2j - 1] = S[j]
if (R[j]-p) % 2 == 0
T[2j] = A[R[j] + 1]
else T[2j] = A[R[j] - 1]
return SELECT(T, 1, 2i, i)
b.证明:
因此,如果,则有。
c.证明:因为i是小于n/2的常数,所以。因此,。
d.证明:因为对所有有,所以。因此,。
a.给出的准确表达式。(提示:表达式可能有不同的值,依赖于i、j、k的值。)。
b.证明:。
c.证明:
因此,。
d.证明:因为RANDOMIZED-SELECT的期望运行时间是,根据上一问的结论,。因此,RANDOMIZED-SELECT的期望运行时间是。
文章浏览阅读645次。这个肯定是末尾的IDAT了,因为IDAT必须要满了才会开始一下个IDAT,这个明显就是末尾的IDAT了。,对应下面的create_head()代码。,对应下面的create_tail()代码。不要考虑爆破,我已经试了一下,太多情况了。题目来源:UNCTF。_攻防世界困难模式攻略图文
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