博客中大部分例题测试数据均为笔者生成的随机数据,若数据太弱或有错请留言评论;另外本博客参考了李煜东的《算法竞赛进阶指南》课本和周伟的《状态压缩》论文。
我不生产知识,我只是个知识的搬运工!!!
在n*n(n≤20)的方格棋盘上放置n个车(可以攻击所在行、列),求使它们不能互相攻击的方案总数。
组合数学:一行一行的放,则第一行有n种选择,第二行n-1,……,最后一行只有1种选择,根据乘法原理,答案就是n!
状态压缩:一行一行的放,并取每列是否放置了棋子作为状态;某一列如果已经放置棋子则为1,否则为0。这样,一个状态就可以用一个最多20位的二进制数表示。例如n=5,且第1、3、4列已经放置,则这个状态可以表示为01101(从右到左)。设fs为达到状态s的方案数,则可以尝试建立f的递推关系。
考虑n=5,s=01101;状态中有3个1,即有3行放置了棋子,因为是一行一行放置的,所以达到s时已经放到了第三行。一行只能放一个车,则第三行的车只有三种情况(第1列、第3列或第4列):
根据上面的讨论思路推广之,得到引例的解决办法:
f 0 = 1 f_0=1 f0=1
f s = ∑ f s − 2 i f_s=∑f_{s-2^i} fs=∑fs−2i,其中s从右往左数(从0开始)第i位二进制位为1
核心代码如下:
dp[0]=1;//其他值均为0
for(int s=1;s<(1<<n);s++)//枚举所有可能的状态0--2^n-1
for(int i=0;i<n;i++)//枚举s的每个二进制位
if((s>>i)&1)//如果s的第i个位置是1则转移
dp[s]+=dp[s-(1<<i)];
cout<<dp[(1<<n)-1];
反思这个算法,其正确性毋庸置疑(可以和 n ! n! n!对比验证)
但是算法的时间复杂度为O( n ∗ 2 n n*2^n n∗2n),空间复杂度O( 2 n 2^n 2n),是个指数级的算法,比用循环O(n)时间复杂度计算n!差的多,它有什么优势?
答案是:可扩展性,具体的可以看看以下的例题
【题目描述】
在 n ∗ n ( n ≤ 20 ) n*n(n≤20) n∗n(n≤20)的方格棋盘上放置n个车,某些格子不能放,求使它们不能互相攻击的方案总数。
【输入描述】
一个 n ∗ n n*n n∗n的矩阵maze, 如果maze[x][y]为0表示该位置不能放,如果为1则能放
【题目描述】U204450
在 n ∗ m ( n , m ≤ 20 ) n*m(n,m≤20) n∗m(n,m≤20)的方格棋盘上放置k个车,有的位置不能放,求使它们不能互相攻击的方案总数。
【输入描述】
一个 n ∗ m n*m n∗m的矩阵maze ,如果maze[x][y]为0表示该位置不能放,如果为1则能放
和例1类似,不同点在于这里是 n ∗ m n*m n∗m的棋盘,只放k个车; k > m i n ( n , m ) k>min(n,m) k>min(n,m)时方案数一定为0。将i行能放或不能放压缩为一个整数can[i];逐行考虑,每行可能放0个或1个车,状态将和放置车的个数有关
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=21;
int n,m,k,ans,can[N],f[2][N][1<<N];
int lowbit(int x){
return x&(-x);}
int calOne(int x){
//计算状态x的二进制位中有多少个1
int cnt=0;
while(x)cnt++,x-=lowbit(x);
return cnt;
}
vector<int>sta[N];
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1,x;j<=m;j++){
scanf("%1d",&x);
can[i]|=(x<<(j-1));
}
for(int s=0,ms=1<<m;s<ms;s++)
sta[calOne(s)].push_back(s);
f[1][0][0]=f[0][0][0]=1;//前i行放0个状态为0时的方案数为1
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=min(i,k);j++){
for(int x=0;x<sta[j].size();x++){
int s=sta[j][x];
f[i%2][j][s]=f[(i-1)%2][j][s];
int t=s&can[i];
while(t)
f[i%2][j][s]+=f[(i-1)%2][j-1][s-lowbit(t)],t-=lowbit(t);
}
}
}
for(int x=0;x<sta[k].size();x++)ans+=f[n%2][k][sta[k][x]];
printf("%d",ans);
return 0;
}
【题目描述】U204630
有一个 n ∗ m n*m n∗m的棋盘( n , m ≤ 80 , n ∗ m ≤ 80 n,m≤80,n*m≤80 n,m≤80,n∗m≤80)要在棋盘上放k(k<80)个棋子,使得任意两个棋子不相邻;且有些格子不能放,求合法的方案总数。
【输入描述】
输入n,m,k
【输出描述】
合法的方案总数
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