1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式)，划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。

x(t) A … ?T0 20 -A T0 2T0 … t ?T0 图1-4 周期方波信号波形图

解答：在一个周期的表达式为

T0??A (??t?0)??2 x(t)??? A (0?t?T0)??2积分区间取(-T/2，T/2)

T02T?02T020

1cn?T0 =j?x(t)e?jn?0t1dt=T0?0T?02?Ae?jn?0t1dt+T0?)Ae?jn?0tdt

A(cosn?-1) (n=0, ?1, ?2, ?3, n??所以复指数函数形式的傅里叶级数为

x(t)?n????cnejn?0t??j1(1?cosn?)ejn?0t，n=0, ?1, ?2, ?3, ??n???nA?。

A?c??(1?cosn?)?nI (n=0, ?1, ?2, ?3, n????cnR?0cn?cnR2?cnI2)

?2A n??1,?3,?, A??(1?cosn?)??n? n??0 n?0,?2,?4,?6, ?

?π??2n??1,?3,?5,?cnI?πφn?arctan??n??1,?3,?5,cnR?2n?0,?2,?4,?6,?0??

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

|cn| 2A/π 2A/3π -3ω0 -ω0 ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 3ω0 5ω0 ω φn π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图

周期方波复指数函数形式频谱图

3ω0 5ω0 ω 2A/5π -5ω0 幅频图

1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。 解

答

：

2x1T1Tμx??x(t)dt??x0sinωtdt?0T0TT

?T2Txxx2?sinωtdt??cosωt0? Tω0Tωπ20xrms1T21T22?x(t)dt?x0sinωtdt?T?0T?0?at2x0T?T0x1?cos2ωtdt?0 22

1-3 求指数函数x(t)?Ae解答：

(a?0,t?0)的频谱。

X(f)??x(t)e????j2?ftdt??Aee0??at?j2?fte?(a?j2?f)tdt?A?(a?j2?f)?0?AA(a?j2?f)?2a?j2?fa?(2?f)2

X(f)?ka?(2?f)22

?(f)?arctan|X(f)| ImX(f)2?f??arctan

ReX(f)aφ(f) A/a π/2 0 0 f -π/2 f 单边指数衰减信号频谱图

1-5 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。

??cosω0tx(t)????0t?Tt?T

x(t) 1

解：x(t)?w(t)cos(2?f0t) w(t)为矩形脉冲信号

-T 0 T t W(f)?2Tsinc(2?Tf)

1j2?f0t?j2?f0t e?e211j2?f0t所以x(t)?w(t)e?w(t)e?j2?f0t

22cos(2?f0t)???-1 w(t) 1 根据频移特性和叠加性得：

11X(f)?W(f?f0)?W(f?f0) 22?Tsinc[2?T(f?f0)]?Tsinc[2?T(f?f0)]-T 0 图1-26 被截断的余弦函数

T t 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

X(f) T -f0 被截断的余弦函数频谱

1-6 求指数衰减信号x(t)?ex(t) ?atf0 f

sinω0t的频谱

指数衰减信号

解答：

sin(?0t)?1j?0t?j?0te?e 2j??所以x(t)?e?at1j?0t?j?0te?e 2j??

单边指数衰减信号x1(t)?e??at(a?0,t?0)的频谱密度函数为

X1(f)??x(t)1e?j?tdt??e?ate?j?tdt???0?1a?j??2

a?j?a??2根据频移特性和叠加性得：

11?a?j(???0)a?j(???0)?X(?)??X1(???0)?X1(???0)?????2j2j?a2?(???0)2a2?(???0)2???0[a?(???0)]2a?0??j[a2?(???0)2][a2?(???0)2][a2?(???0)2][a2?(???0)2]X(ω) φ(ω) π 222

0 ω -π 0 ω 指数衰减信号的频谱图

1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cosω0t(ω0?ωm)。

在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号

f(t)cosω0t的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0?ωm时将会出现什

么情况？

f(t) F(ω) 0 t -ωm 0 ωm ω 图1-27 题1-7图

解：x(t)?f(t)cos(?0t)

F(?)?F[f(t)]

1j?0t?j?0t e?e211j?t?j?t所以x(t)?f(t)e0?f(t)e0

22cos(?0t)???根据频移特性和叠加性得：

X(f)?11F(???0)?F(???0) 22 可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱

线高度减小一半。

X(f) -ω0 矩形调幅信号频谱

若ω0?ωm将发生混叠。

ω0 f