技术标签: # 数学及数论等算法
定义:
一个数的因数只有1和本身,那么这个数是质数。
质数的判断:
一个数n如果不是质数那么在2— s q r t ( n ) sqrt(n) sqrt(n)一定有他的因子,于是:
bool isPrime (int n)
{
for(int i=2;i*i<=n;i++)
{
if(n%i==0) return false;
}
else return false;
}
但是在大量元素中,比如 1 — 1 e 6 1—1e6 1—1e6中的质数,再用上面的朴素算法,就有些蹩脚了。
这里我们给出埃氏筛法:
原理:如果找到一个质数,那么这个质数的倍数都不是质数
int primes[N],cnt;
bool bprime[N];
void getPrime(int n){
memset(bprime,false,sizeof(bprime));
bprime[0]=true;
bprime[1]=true;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!bprime[i]){
prime[cnt++]=i;
for(LL j=i*2;j<=n;j+=i)
bprime[j]=true;
}
}
}
但是埃氏筛法的缺点:例如6会被3整除,6会被2整除,会被筛两次,所以我们再给出欧氏线性筛法:
int primes[N],cnt;
bool bPrime[N];
void getPrimes(int n){
memset(bPrime,false,sizeof(bPrime));
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!bPrime[i])
primes[cnt++]=i;
for(int j=0;j<cnt&&i*primes[j]<n;j++){
bPrime[i*primes[j]]=true;
if(i%primes[j]==0)
break;
}
}
}
1e8以内的素数筛法
#include<iostream>
#include<bitset>
using namespace std;
bitset<100000010>v;
int prime[6000001];
int m=0;
void primes(int n)
{
for(int i=2; i*i<=n; i++)
{
if(!v[i])
{
for(int j=i*i; j<=n; j+=i)
v[j]=1;
}
}
for(int i=2; i<=n; i++)
if(!v[i])
prime[m++]=i;
for(int i=0; i<m; i++)
cout<<prime[i]<<endl;
}
int main()
{
primes(1e3+20);
return 0;
}
奇技淫巧:
用6N±1法求素数
任何一个自然数,总可以表示成为如下的形式之一:6N,6N+1,6N+2,6N+3,6N+4,6N+5 (N=0,1,2,…)
显然,当N≥1时,6N,6N+2,6N+3,6N+4都不是素数,只有形如6N+1和6N+5的自然数有可能是素数。所以,除了2和3之外,所有的素数都可以表示成6N±1的形式(N为自然数)。
Miller-Rabin 算法
Miller-Rabin 算法是一个随机算法,随机生成几个 a 利用费马小定理与二次探测定理来检测素数。
只需要多次寻找不超过 n-1 基并检验是否有 , 如果一直有, 那么这个数大概率就是一个素数,否则可以立即判定这个数是个合数。
虽然看似没有问题,但却存在一些数,对于 a 的某些选择可以骗过该算法,这些数虽然不是素数,但却对所有与 p 互素的 0<a<p 满足 ,因此,还需要附加二次探测定理的测试来改进不出错的几率。
LL Mult_Mod(LL a,LL b,LL m)//res=(a*b)%m
{
a%=m;
b%=m;
LL res=0;
while(b)
{
if(b&1)
res=(res+a)%m;
a=(a<<=1)%m;
b>>=1;
}
return res%m;
}
LL Pow_Mod(LL a, LL b, LL m)//res=(a^b)%m
{
LL res=1;
LL k=a;
while(b)
{
if((b&1))
res=Mult_Mod(res,k,m)%m;
k=Mult_Mod(k,k,m)%m;
b>>=1;
}
return res%m;
}
bool Witness(LL a,LL n,LL x,LL sum)
{
LL judge=Pow_Mod(a,x,n);
if(judge==n-1||judge==1)
return 1;
while(sum--)
{
judge=Mult_Mod(judge,judge,n);
if(judge==n-1)
return 1;
}
return 0;
}
bool Miller_Rabin(LL n)
{
if(n<2)
return 0;
if(n==2)
return 1;
if((n&1)==0)
return 0;
LL x=n-1;
LL sum=0;
while(x%2==0)
{
x>>=1;
sum++;
}
int times=20;
for(LL i=1;i<=times;i++)
{
LL a=rand()%(n-1)+1;//取与p互质的整数a
if(!Witness(a,n,x,sum))//费马小定理的随机数检验
return 0;
}
return 1;
}
int main()
{
int p;
cin>>p;
if(Miller_Rabin(p))
cout<<p<<"可能是素数"<<endl;
else
cout<<p<<"是合数"<<endl;
return 0;
}
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