图的定义和术语

图：$Graph=(V,E)$
V：顶点(数据元素)的有穷非空集合；
E：边的有穷集合。
在图G中，如果代表边的顶点对是无序的，则称G为无向图。用圆括号序偶表示无向边。如果表示边的顶点对是有序的，则称G为有向图。用尖括号序偶表示有向边。

端点和邻接点
无向图：若存在一条边(i，j)，则顶点i和顶点j为端点，它们互为邻接点。
有向图：若存在一条边<i，j>，则顶点i为起始端点（简称为起点），顶点j为终止端点（简称终点），它们互为邻接点。
关联(依附)
存在$(v_i,v_j)/<v_i,v_j>$， 则称该边/弧关联于顶点$v_i$和$v_j$。
顶点v的度TD(v)、入度ID(v)和出度OD(v)
无向图：以顶点 i 为端点的边数称为该顶点的度。
有向图：以顶点i为终点的入边的数目，称为该顶点的入度。以顶点i为始点的出边的数目，称为该顶点的出度。一个顶点的入度与出度的和为该顶点的度。
完全图
无向图：每两个顶点之间都存在着一条边，称为完全无向图， 包含有n(n-1)/2条边。
有向图：每两个顶点之间都存在着方向相反的两条边，称为完全有向图，包含有n(n-1)条边。
子图
设有两个图G=(V，E)和G’=(V’，E’)，若V’是V的子集，且E’是E的子集，则称G’是G的子图。

路径长度是指一条路径上经过的边的数目。
若一条路径上除开始点和结束点可以相同外，其余顶点均不相同，则称此路径为简单路径。
若一条路径上的开始点与结束点为同一个顶点，则此路径被称为回路或环。开始点与结束点相同的简单路径被称为简单回路或简单环。

连通、连通图和连通分量（无向图）
连通：若从顶点i到顶点j有路径，则称顶点i和j是连通的。
连通图：若图中任意两个顶点都连通，则称为连通图，否则称为非连通图。
连通分量：无向图G中的极大连通子图称为G的连通分量。
极大连通子图：该子图是 G 连通子图，将G 的任何不在该子图中的顶点加入，子图不再连通。
强连通图和强连通分量（有向图）
连通：若从顶点i到顶点j有路径，则称从顶点i到j是连通的。
强连通图：若图G中的任意两个顶点i和j都连通，即从顶点i到j和从顶点j到i都存在路径，则称图G是强连通图。

图的存储结构

邻接矩阵表示法

设G=(V，E)是具有n（n＞0）个顶点的图，顶点的编号依次为0～n-1。
G的邻接矩阵A是n阶方阵，定义为：
$A[i][j]=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 如果 }<i,j>\in E\text{ 或者 }(i,j)\in E\\ 0,& \text{ 否则 }\end{array}$
分析1：无向图的邻接矩阵是对称的；
分析2：顶点i 的度＝第 i 行 (列) 中1 的个数；
特别：完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余1。

有向图的邻接矩阵，
第i行含义：以结点vi为尾的弧(即顶点i的出边）；
第i列含义：以结点vi为头的弧(即顶点i的入边）。
分析1：有向图的邻接矩阵不一定是对称的。
分析2：顶点i的出度 = 第i行元素之和
顶点i的入度 = 第i列元素之和
顶点i的度 = 第i行元素之和+第i列元素之和

邻接表表示法

对图中每个顶点i建立一个单链表，将顶点i的所有邻接点链起来。有向图的邻接表可以只存出边或只存入边。

邻接矩阵与邻接表表示法的关系

1. 联系：邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行，链表中结点个数等于一行中非零元素的个数。
2. 区别
   ① 对于任一确定的无向图，邻接矩阵是唯一的（行列号与顶点编号一致），但邻接表不唯一（链接次序与顶点编号无关）。
   ② 邻接矩阵的空间复杂度为O(n2),而邻接表的空间复杂度为O(n+e)。
3. 用途：邻接矩阵多用于稠密图；而邻接表多用于稀疏图

图的遍历

深度优先搜索( DFS ——Depth First Search)

深度优先遍历过程：

1. 从图中某个初始顶点v出发，首先访问初始顶点v。
2. 依次从所有与顶点v相邻且没被访问过的顶点w出发进行深度优先搜索。

基于邻接矩阵的DFS算法

void DFS(MGraph G, int v)
{
          // 以顶点v为起点深度优先遍历图G，图G采用邻接矩阵存储 
  cout<<v;  visited[v] = 1;  		//访问第v个顶点
  for(int w = 0; w< G.vexnum; w++)  //依次检查邻接矩阵v所在的行  
        if((G.arcs[v][w]!=0) && (!visited[w])) //w是v的邻接点，如果w未访问，则递归调用DFS 
            DFS(G, w);       
} 

基于邻接表的DFS算法的实现

void DFS(ALGraph G, int v)
{
        //以顶点v为起点深度优先遍历图G，图G为邻接表类型 
    cout<<v;  visited[v] = 1;          //访问第v个顶点
    ArcNode *p= G.adjlist[v].firstarc; //p指向v的边链表的第一个边结点 
    while(p!=NULL) //边结点非空 
    {
         
        w=p->adjvex;               	      //表示w是v的邻接点 
        if(!visited[w])  
            DFS(G, w); 	     //如果w未访问，则递归调用DFS 
        p=p->nextarc;                 //p指向下一个边结点 
    } 
} 

用邻接矩阵来表示图，遍历图中每一个顶点都要从头扫描该顶点所在行，时间复杂度为$O(n^2)$。
用邻接表来表示图，虽然有 2e 个表结点，但只需扫描 e 个结点即可完成遍历，加上访问 n个头结点的时间，时间复杂度为O(n+e)。

广度优先搜索( BFS——Breadth First Search)

广度优先遍历的过程：

1. 访问初始点v，v入队；
2. 出队一个节点记为w，访问w的每个临节点p，将p入队；
3. 若队列为空，退出，否则返回步骤2；

基于邻接表的BFS算法的实现

void BFS(ALGraph G，int v)
{
            
    int w， i;
    ArcNode *p;
    SqQueue *qu;		//定义环形队列指针
    InitQueue(qu);		//初始化队列
    int visited[MAXV];            	//定义顶点访问标记数组
    for (i=0;i<G.vexnum;i++) 
        visited[i]=0;	  	//访问标记数组初始化
    printf("%2d"，v); 		//输出被访问顶点的编号
    visited[v]=1;              	//置已访问标记
    enQueue(qu，v);
    while (!QueueEmpty(qu))       	//队不空循环
    {
    	deQueue(qu，w);		//出队一个顶点w
        p=G.adjlist[w].firstarc; 	//指向w的第一个邻接点
        while (p!=NULL)		//查找w的所有邻接点
        {
       if (visited[p->adjvex]==0) 	//若当前邻接点未被访问
            {
    	printf("%2d"，p->adjvex);  //访问该邻接点
                visited[p->adjvex]=1;	//置已访问标记
                enQueue(qu，p->adjvex);	//该顶点进队
            }
            p=p->nextarc;              	//找下一个邻接点
        }
    }
    printf("\n");
}

有向无环图及其应用

最短路径