笛卡尔坐标系下泽尼克（Zernike）系数_泽尼克系数-程序员宅基地
笛卡尔坐标系下泽尼克（Zernike）多项式
大多文献和资料里zernike多项式都是极坐标下的，想用笛卡尔坐标系下的但又没找到好的，最后就自己推导了一份，记录+分享。
by HPC_ZY
泽尼克多项式
详细定义可查看维基百科介绍
下图为极坐标下的泽尼克多项式（归一化）
笛卡尔坐标下的泽尼克
数学底子薄，如有错误，请大佬指出。关于推到过程我只简单举例,。
注：下列推导过程未考虑上图表达式中前面的系数，因此下列表中多项式未在单位圆内归一化
根据笛卡尔到极坐标转换公式：
1）直接就能得到 Z1，Z2
ρ s i n ( θ ) = y ， ρ c o s ( θ ) = x \rho sin(\theta)=y，\rho cos(\theta)=x ρsin(θ)=y，ρcos(θ)=x
2）Z3有：
ρ 2 s i n ( 2 θ ) = 2 ρ 2 s i n ( θ ) c o s ( θ ) = 2 ρ s i n ( θ ) ∗ ρ c o s ( θ ) = 2 x y \rho^2sin(2\theta)=2\rho^2sin(\theta)cos(\theta)=2\rho sin(\theta)*\rho cos(\theta)=2xy ρ2sin(2θ)=2ρ2sin(θ)cos(θ)=2ρsin(θ)∗ρcos(θ)=2xy
3）Z4有：
2 ρ 2 − 1 = 2 ( ρ 2 s i n 2 ( θ ) + ρ 2 c o s 2 ( θ ) ) − 1 = 2 ( x 2 + y 2 ) − 1 2\rho^2-1=2(\rho^2sin^2(\theta)+\rho^2cos^2(\theta))-1=2(x^2+y^2)-1 2ρ2−1=2(ρ2sin2(θ)+ρ2cos2(θ))−1=2(x2+y2)−1
4）Z5有：
ρ 2 c o s ( 2 θ ) = ρ 2 c o s 2 ( θ ) − ρ 2 s i n 2 ( θ ) = x 2 − y 2 \rho^2cos(2\theta)=\rho^2cos^2(\theta)-\rho^2sin^2(\theta)=x^2-y^2 ρ2cos(2θ)=ρ2cos2(θ)−ρ2sin2(θ)=x2−y2
其余项可根据原理自行推导（也可以假装相信我是对的）， g j , h j g_j,h_j gj,hj是两个方向的偏导。
利用MATLAB将上述多项式在单位圆中绘制，结果如下图（右）所示
其他
- 检查了很多遍，绘制结果看起来也一样了，但是不敢保证完全没错，欢迎大家检查指正
智能推荐
c# 调用c++ lib静态库_c#调用lib-程序员宅基地
文章浏览阅读2w次，点赞7次，收藏51次。四个步骤1.创建C++ Win32项目动态库dll 2.在Win32项目动态库中添加 外部依赖项 lib头文件和lib库3.导出C接口4.c#调用c++动态库开始你的表演...①创建一个空白的解决方案，在解决方案中添加 Visual C++ , Win32 项目空白解决方案的创建：添加Visual C++ , Win32 项目这......_c#调用lib
deepin/ubuntu安装苹方字体-程序员宅基地
文章浏览阅读4.6k次。苹方字体是苹果系统上的黑体，挺好看的。注重颜值的网站都会使用，例如知乎：font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, Helvetica Neue, PingFang SC, Microsoft YaHei, Source Han Sans SC, Noto Sans CJK SC, W..._ubuntu pingfang
html表单常见操作汇总_html表单的处理程序有那些-程序员宅基地
文章浏览阅读159次。表单表单概述表单标签表单域按钮控件demo表单标签表单标签基本语法结构<form action="处理数据程序的url地址“ method=”get|post“ name="表单名称”></form><!--action,当提交表单时，向何处发送表单中的数据，地址可以是相对地址也可以是绝对地址--><!--method将表单中的数据传送给服务器处理，get方式直接显示在url地址中，数据可以被缓存，且长度有限制；而post方式数据隐藏传输，_html表单的处理程序有那些
PHP设置谷歌验证器（Google Authenticator）实现操作二步验证_php otp 验证器-程序员宅基地
文章浏览阅读1.2k次。使用说明:开启Google的登陆二步验证（即Google Authenticator服务）后用户登陆时需要输入额外由手机客户端生成的一次性密码。实现Google Authenticator功能需要服务器端和客户端的支持。服务器端负责密钥的生成、验证一次性密码是否正确。客户端记录密钥后生成一次性密码。下载谷歌验证类库文件放到项目合适位置(我这边放在项目Vender下面)https://github.com/PHPGangsta/GoogleAuthenticatorPHP代码示例://引入谷_php otp 验证器
【Python】matplotlib.plot画图横坐标混乱及间隔处理_matplotlib更改横轴间距-程序员宅基地
文章浏览阅读4.3k次，点赞5次，收藏11次。matplotlib.plot画图横坐标混乱及间隔处理_matplotlib更改横轴间距
docker — 容器存储_docker 保存容器-程序员宅基地
文章浏览阅读2.2k次。①Storage driver 处理各镜像层及容器层的处理细节，实现了多层数据的堆叠，为用户 提供了多层数据合并后的统一视图②所有 Storage driver 都使用可堆叠图像层和写时复制（CoW）策略③docker info 命令可查看当系统上的 storage driver主要用于测试目的，不建议用于生成环境。_docker 保存容器
随便推点
网络拓扑结构_网络拓扑csdn-程序员宅基地
文章浏览阅读834次，点赞27次，收藏13次。网络拓扑结构是指计算机网络中各组件（如计算机、服务器、打印机、路由器、交换机等设备）及其连接线路在物理布局或逻辑构型上的排列形式。这种布局不仅描述了设备间的实际物理连接方式，也决定了数据在网络中流动的路径和方式。不同的网络拓扑结构影响着网络的性能、可靠性、可扩展性及管理维护的难易程度。_网络拓扑csdn
JS重写Date函数，兼容IOS系统_date.prototype 将所有 ios-程序员宅基地
文章浏览阅读1.8k次，点赞5次，收藏8次。IOS系统Date的坑要创建一个指定时间的new Date对象时，通常的做法是：new Date("2020-09-21 11:11:00")这行代码在 PC 端和安卓端都是正常的，而在 iOS 端则会提示 Invalid Date 无效日期。在IOS年月日中间的横岗许换成斜杠，也就是new Date("2020/09/21 11:11:00")通常为了兼容IOS的这个坑，需要做一些额外的特殊处理，笔者在开发的时候经常会忘了兼容IOS系统。所以就想试着重写Date函数，一劳永逸，避免每次ne_date.prototype 将所有 ios
如何将EXCEL表导入plsql数据库中-程序员宅基地
文章浏览阅读5.3k次。方法一：用PLSQL Developer工具。 1 在PLSQL Developer的sql window里输入select * from test for update; 2 按F8执行 3 打开锁, 再按一下加号. 鼠标点到第一列的列头，使全列成选中状态，然后粘贴，最后commit提交即可。（前提..._excel导入pl/sql
Git常用命令速查手册-程序员宅基地
文章浏览阅读83次。Git常用命令速查手册1、初始化仓库git init2、将文件添加到仓库git add 文件名 # 将工作区的某个文件添加到暂存区 git add -u # 添加所有被tracked文件中被修改或删除的文件信息到暂存区，不处理untracked的文件git add -A # 添加所有被tracked文件中被修改或删除的文件信息到暂存区，包括untracked的文件...
分享119个ASP.NET源码总有一个是你想要的_千博二手车源码v2023 build 1120-程序员宅基地
文章浏览阅读202次。分享119个ASP.NET源码总有一个是你想要的_千博二手车源码v2023 build 1120
【C++缺省函数】 空类默认产生的6个类成员函数_空类默认产生哪些类成员函数-程序员宅基地
文章浏览阅读1.8k次。版权声明：转载请注明出处 http://blog.csdn.net/irean_lau。目录(?)[+]1、缺省构造函数。2、缺省拷贝构造函数。3、 缺省析构函数。4、缺省赋值运算符。5、缺省取址运算符。6、 缺省取址运算符 const。[cpp] view plain copy_空类默认产生哪些类成员函数