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先来看看维基百科对于波兰表达式和逆波兰表单的解释:
波兰表示法(Polish notation,或波兰记法),是一种逻辑、算术和代数表示方法,其特点是操作符置于操作数的前面,因此也称做前缀表示法。如果操作符的元数(arity)是固定的,则语法上不需要括号仍然能被无歧义地解析。
逆波兰表示法(Reverse Polish notation,RPN,或逆波兰记法),是一种是由波兰数学家扬·武卡谢维奇1920年引入的数学表达式形式,在逆波兰记法中,所有操作符置于操作数的后面,因此也被称为后缀表示法。逆波兰记法不需要括号来标识操作符的优先级。
这个解释听起来有点难理解。波兰表达式也称为前缀表达式,逆波兰表达式也称为后缀表达式。以表达式 (1 + 2) * (3 + 4) 为例,这个表达式称为中缀表达式。
表达式 | 描述 | 结果 |
---|---|---|
前缀表达式 | 不含括号的的算数表达式,将运算符写在前面,操作数写在后面 | * + 1 2 + 3 4 |
中缀表达式 | 必须含括号,操作符处于操作数的中间 | ( 1 + 2 ) * ( 3 + 4 ) |
后缀表达式 | 不含括号,运算符放在两个运算对象的后面。 | 1 2 + 3 4 + * |
与中缀表达式相比,前缀表达式和后缀表达式有个好处,没有圆括号,在计算的时候无需考虑优先级,能够提高计算机的运算效率。
中缀表达式得出的前缀后缀表达式不唯一,只要不破坏中缀表达式里本身的运算优先级,就能得到与中缀表达式得到一致的结果。
举例说明:
中缀表达式 : a + b
前缀表达式 : + a b
后缀表达式 : a b +
中缀表达式 : ( a + b ) * c + d - ( e + g ) * h
前缀表达式 :
1、 (( a + b ) * c + d ) - (( e + g ) * h ) // 变成 2 个表达式
2、 - r s // 记 r = ( a + b ) * c + d s = ( e + g ) * h
3、 对于 r ,同样添加圆括号,变成 2 个子表单式 ( ( a + b ) * c ) + d
3.1 + ( a + b ) * c d
3.2 + * ( a + b ) c d
3.3 + * + a b c d
4、 对于 s , ( e + g ) * h
4.1 * ( e + g ) h
4.2 * + e g h
5、 最终结果 - + * + a b c d * + e g h
后缀表达式 : a b + c * d + e g + h * - ( 后缀表达式的推到过程与前缀表达式推导类似,只不过运算符已到括号后方)
以 LeetCode 的第 150 题为例 。 在该例子中,tokens 即为后缀表达式(逆波兰表达式)
输入:tokens = ["10","6","9","3","+","-11","*","/","*","17","+","5","+"]
输出:22
解释:该算式转化为常见的中缀算术表达式为:
((10 * (6 / ((9 + 3) * -11))) + 17) + 5
= ((10 * (6 / (12 * -11))) + 17) + 5
= ((10 * (6 / -132)) + 17) + 5
= ((10 * 0) + 17) + 5
= (0 + 17) + 5
= 17 + 5
= 22
利用逆波兰表达式计算时,使用一个栈来存储操作数,从左到右遍历逆波兰表达式,进行如下操作:
如果利用波兰式来计算表单式的话,对操作的的遍历从后到前,同时出栈操作,第一个操作是左操作数,第二个操作数是右操作数。
官方代码如下:
var evalRPN = function(tokens) {
const stack = [];
const n = tokens.length;
for (let i = 0; i < n; i++) {
const token = tokens[i];
if (isNumber(token)) {
stack.push(parseInt(token));
} else {
const num2 = stack.pop();
const num1 = stack.pop();
if (token === '+') {
stack.push(num1 + num2);
} else if (token === '-') {
stack.push(num1 - num2);
} else if (token === '*') {
stack.push(num1 * num2);
} else if (token === '/') {
stack.push(num1 / num2 > 0 ? Math.floor(num1 / num2) : Math.ceil(num1 / num2));
}
}
}
return stack.pop();
};
const isNumber = (token) => {
return !('+' === token || '-' === token || '*' === token || '/' === token );
}
更简洁的版本:
var evalRPN = function(tokens) {
const stack=[];
const obj = {
'+': (a, b) => +b + +a,
'-': (a, b) => b - a,
'*': (a, b) => b * a,
'/': (a, b) => b / a | 0
};
tokens.forEach((v)=>{
stack.push(isNaN(v)?obj[v](stack.pop(),stack.pop()):v);
})
return stack[0];
};
以上边的 LeetCode 的实例继续讲解,如果用中缀表单式来计算的,该如何操作:
对应的前缀表达式: ( ( ( 10 * ( 6 / ( ( 9 + 3 ) * -11 ) ) ) + 17 ) + 5 )
为了与上例中格式保持一致,对中缀表达式转换成数组格式:
tokens = ["(", "(", "(", "10", "*", "(", "6", "/", "(", "(", "9", "+", "3", ")", "*", "-11", ")", ")", ")", "+", "17", ")", "+", "5", ")"]
解决思路:
算法如下:
var evalMiddle = function (tokens) {
const s1 = [] //用于存储运算符
const s2 = [] //用于存储操作数
const n = tokens.length
for (let i = 0; i < n; i++) {
const token = tokens[i]
if (isNumber(token)) {
s2.push(parseInt(token))
} else {
if (token === ')') {
// 弹出操作数
const num2 = s2.pop()
const num1 = s2.pop()
// 弹出操作符,同时弹出左括号
const _token = s1.pop()
const leftParentheses = s1.pop()
if (_token === '+') {
s2.push(num1 + num2)
} else if (_token === '-') {
s2.push(_token - num2)
} else if (_token === '*') {
s2.push(num1 * num2)
} else if (_token === '/') {
s2.push(num1 / num2 > 0 ? Math.floor(num1 / num2) : Math.ceil(num1 / num2))
}
} else {
s1.push(token)
}
}
}
return s2.pop()
}
var isNumber = (token) => {
return !('+' === token || '-' === token || '*' === token || '/' === token || '(' === token || ')' === token)
}
var tokens = ["(", "(", "(", "10", "*", "(", "6", "/", "(", "(", "9", "+", "3", ")", "*", "-11", ")", ")", ")", "+", "17", ")", "+", "5", ")"]
console.log(evalMiddle(tokens))
由以上代码可知,通知中缀表达式计算时,为了能更好的阐述表单式之间的的优先级时,需要通过2个堆栈来维护。
在上述算法中,针对中缀表达式的每个子表单式都添加括号,在实际过程中,我们针对上例的通常是如下写法,则在中缀表达式计算时可能还要考虑符号的优先级,算法相对会更加复杂一些。
10 * (6 / ((9 + 3) * -11)) + 17) + 5
而不是
( ( ( 10 * ( 6 / ( ( 9 + 3 ) * -11 ) ) ) + 17 ) + 5 )
中缀表达式更利于显示世界中的计算,他表达跟清晰;前、后缀表达式更利于计算机计算,因为他只需要一个数据栈就能够解决计算结果。
关于中缀表达式和前缀表达式、后缀表单式之间的相互转换算法,本质上与中缀表单式计算的算法差不多,仍旧需要一个栈存储操作数、一个栈存储操作符,有兴趣的可以执行编码实现。
参考文献:
https://www.bilibili.com/video/BV1aJ411i7G7?from=search&seid=15042777190091941319
https://leetcode-cn.com/problems/evaluate-reverse-polish-notation/solution/ni-bo-lan-biao-da-shi-qiu-zhi-by-leetcod-wue9/
https://juejin.cn/post/6844903750994231303#heading-4
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