1. 时间复杂度

通常使用最差的时间复杂度来衡量一个算法的好坏。

常数时间 O(1) 代表这个操作和数据量没关系，是一个固定时间的操作，比如说四则运算。

对于一个算法来说，可能会计算出如下操作次数 aN + 1，N 代表数据量。那么该算法的时间复杂度就 是 O(N)。因为我们在计算时间复杂度的时候，数据量通常是非常大的，这时候低阶项和常数项可以忽略 不计。

当然可能会出现两个算法都是 O(N) 的时间复杂度，那么对比两个算法的好坏就要通过对比低阶项和常 数项了。

2. 位运算

位运算在算法中很有用，速度可以比四则运算快很多。

在学习位运算之前应该知道十进制如何转二进制，二进制如何转十进制。这里说明下简单的计算方式

• 十进制 33 可以看成是 32 + 1 ，并且 33 应该是六位二进制的（因为 33 近似 32 ，而 32 是 2 的五次方，所以是六位），那么 十进制 33 就是 100001 ，只要是 2 的次方，那么就是 1 否则都 为 0 。

• 那么二进制 100001 同理，首位是 2^5 ，末位是 2^0 ，相加得出 33 。

3. 左移 <<

左移就是将二进制全部往左移动， 10 在二进制中表示为 1010 ，左移一位后变成 10100 ，转换为十 进制也就是 20 ，所以基本可以把左移看成以下公式 a * (2 ^b)

4. 算数右移 >>

算数右移就是将二进制全部往右移动并去除多余的右边， 10 在二进制中表示为 1010 ，右移一位后变 成 101 ，转换为十进制也就是 5 ，所以基本可以把右移看成以下公式 int v = a / (2 ^ b)

右移很好用，比如可以用在二分算法中取中间值

10 << 1 // -> 20 

10 >> 1 // -> 5 

13 >> 1 // -> 6 

5. 按位操作

1 ）按位与

每一位都为 1 ，结果才为 1

8 | 7 // -> 15 
// 1000 | 0111 -> 1111 -> 15

2 ）按位或

其中一位为 1 ，结果就是 1

8 | 7 // -> 15 // 1000 | 0111 -> 1111 -> 15

3 ）按位异或

每一位都不同，结果才为 1

8 ^ 7 // -> 15 
8 ^ 8 // -> 0 
// 1000 ^ 0111 -> 1111 -> 15 
// 1000 ^ 1000 -> 0000 -> 0

从以上代码中可以发现按位异或就是不进位加法

「面试题：两个数不使用四则运算得出和」

这道题中可以按位异或，因为按位异或就是不进位加法， 8 ^ 8 = 0 如果进位了，就是 16 了，所以我们只需要将两个数进行异或操作，然后进位。那么也就是说两个二进制都是 1 的位置，左边应该有一个进位 1，所以可以得出以下公式 a + b = (a ^ b) + ((a & b) << 1) ，然后通过迭代的方式模拟加法

function sum(a, b) {
    if (a == 0) 
        return b 
    if (b == 0) 
        return a 
    let newA = a ^ b 
    let newB = (a & b) << 1 
    return sum(newA, newB) 
}

6. 排序

以下两个函数是排序中会用到的通用函数，就不一一写了

function checkArray(array) { 
    if (!array || array.length <= 2) return 
}
function swap(array, left, right) { 
    let rightValue = array[right] 
    array[right] = array[left] 
    array[left] = rightValue 
}

7. 冒泡排序

冒泡排序的原理如下，从第一个元素开始，把当前元素和下一个索引元素进行比较。如果当前元素大， 那么就交换位置，重复操作直到比较到最后一个元素，那么此时最后一个元素就是该数组中最大的数。 下一轮重复以上操作，但是此时最后一个元素已经是最大数了，所以不需要再比较最后一个元素，只需 要比较到 length 1 的位置。

以下是实现该算法的代码

function bubble(array) { 
    checkArray(array); 
    for (let i = array.length - 1; i > 0; i--) { 
        // 从 0 到 `length - 1` 遍历 
        for (let j = 0; j < i; j++) { 
            if (array[j] > array[j + 1]) swap(array, j, j + 1) } 
    }
    return array; 
}

该算法的操作次数是一个等差数列n + (n 1) + (n 2) + 1，去掉常数项以后得出时间复杂度是O(n * n)

8. 插入排序

插入排序的原理如下。第一个元素默认是已排序元素，取出下一个元素和当前元素比较，如果当前元素大就交换位置。那么此时第一个元素就是当前的最小数，所以下次取出操作从第三个元素开始，向前对 比，重复之前的操作。

以下是实现该算法的代码

function insertion(array) { 
    checkArray(array); 
    for (let i = 1; i < array.length; i++) { 
        for (let j = i - 1; j >= 0 && array[j] > array[j + 1]; j--) 
            swap(array, j, j + 1); 
    }
    return array; 
}

该算法的操作次数是一个等差数列 n + (n 1) + (n 2) + 1 ，去掉常数项以后得出时间复杂度是O(n * n)

9. 选择排序

选择排序的原理如下。遍历数组，设置最小值的索引为 0 ，如果取出的值比当前最小值小，就替换最小 值索引，遍历完成后，将第一个元素和最小值索引上的值交换。如上操作后，第一个元素就是数组中的 最小值，下次遍历就可以从索引 1 开始重复上述操作。

以下是实现该算法的代码

function selection(array) { 
    checkArray(array); 
    for (let i = 0; i < array.length - 1; i++) { 
        let minIndex = i; 
        for (let j = i + 1; j < array.length; j++) { 
            minIndex = array[j] < array[minIndex] ? j : minIndex; 
        }
        swap(array, i, minIndex); 
    }
    return array; 
}

该算法的操作次数是一个等差数列 n + (n 1) + (n 2) + 1 ，去掉常数项以后得出时间复杂度是O(n * n)

10. 归并排序

归并排序的原理如下。递归的将数组两两分开直到最多包含两个元素，然后将数组排序合并，最终合并 为排序好的数组。假设我有一组数组 [3, 1, 2, 8, 9, 7, 6]，中间数索引是 3 ，先排序数组 [3, 1, 2, 8] 。在这个左边数组上，继续拆分直到变成数组包含两个元素（如果数组长度是奇数的话，会 有一个拆分数组只包含一个元素）。然后排序数组 [3, 1] 和 [2, 8] ，然后再排序数组 [1, 3, 2, 8] ，这样左边数组就排序完成，然后按照以上思路排序右边数组，最后将数组 [1, 2, 3, 8] 和 [6, 7, 9] 排序。

以下是实现该算法的代码

function sort(array) { 
    checkArray(array); 
    mergeSort(array, 0, array.length - 1); 
    return array; 
}

function mergeSort(array, left, right) { 
    // 左右索引相同说明已经只有一个数 
    if (left === right) return; 
    // 等同于 `left + (right - left) / 2` 
    // 相比 `(left + right) / 2` 来说更加安全，不会溢出 
    // 使用位运算是因为位运算比四则运算快 
    let mid = parseInt(left + ((right - left) >> 1)); 
    mergeSort(array, left, mid); 
    mergeSort(array, mid + 1, right); 
    let help = []; 
    let i = 0; 
    let p1 = left; 
    let p2 = mid + 1; 
    while (p1 <= mid && p2 <= right) { 
        help[i++] = array[p1] < array[p2] ? array[p1++] : array[p2++]; 
    }
    while (p1 <= mid) { 
        help[i++] = array[p1++]; 
    }
    while (p2 <= right) { 
        help[i++] = array[p2++]; 
    }
    for (let i = 0; i < help.length; i++) { 
        array[left + i] = help[i]; 
    }
    return array; 
}

以上算法使用了递归的思想。递归的本质就是压栈，每递归执行一次函数，就将该函数的信息（比如参 数，内部的变量，执行到的行数）压栈，直到遇到终止条件，然后出栈并继续执行函数。对于以上递归 函数的调用轨迹如下

mergeSort(data, 0, 6) // mid = 3 
mergeSort(data, 0, 3) // mid = 1 
mergeSort(data, 0, 1) // mid = 0 
mergeSort(data, 0, 0) // 遇到终止，回退到上一步 
mergeSort(data, 1, 1) // 遇到终止，回退到上一步

// 排序 p1 = 0, p2 = mid + 1 = 1 
// 回退到 `mergeSort(data, 0, 3)` 执行下一个递归 
mergeSort(2, 3) // mid = 2 
mergeSort(3, 3) // 遇到终止，回退到上一步 
// 排序 p1 = 2, p2 = mid + 1 = 3 
// 回退到 `mergeSort(data, 0, 3)` 执行合并逻辑 
// 排序 p1 = 0, p2 = mid + 1 = 2 
// 执行完毕回退 
// 左边数组排序完毕，右边也是如上轨迹

该算法的操作次数是可以这样计算：递归了两次，每次数据量是数组的一半，并且最后把整个数组迭代 了一次，所以得出表达式 2T(N / 2) + T(N) （T 代表时间，N 代表数据量）。根据该表达式可以套用 公式 得出时间复杂度为 O(N * logN)

11. 快排

快排的原理如下。随机选取一个数组中的值作为基准值，从左至右取值与基准值对比大小。比基准值小 的放数组左边，大的放右边，对比完成后将基准值和第一个比基准值大的值交换位置。然后将数组以基 准值的位置分为两部分，继续递归以上操作。

以下是实现该算法的代码

function sort(array) { 
    checkArray(array); 
    quickSort(array, 0, array.length - 1); 
    return array; 
}
function quickSort(array, left, right) { 
    if (left < right) { 
        swap(array, , right) 
        // 随机取值，然后和末尾交换，这样做比固定取一个位置的复杂度略低 
        let indexs = part(array, parseInt(Math.random() * (right - left + 1)) + left, right); 
        quickSort(array, left, indexs[0]); 
        quickSort(array, indexs[1] + 1, right); 
    } 
}
function part(array, left, right) { 
    let less = left - 1; 
    let more = right; 
    while (left < more) { 
        if (array[left] < array[right]) { 
            // 当前值比基准值小，`less` 和 `left` 都加一 
            ++less;
            ++left; 
        } else if (array[left] > array[right]) { 
            // 当前值比基准值大，将当前值和右边的值交换
            // 并且不改变 `left`，因为当前换过来的值还没有判断过大小 
            swap(array, --more, left); 
        } else { 
            // 和基准值相同，只移动下标 
            left++; 
        } 
    }
    // 将基准值和比基准值大的第一个值交换位置 
    // 这样数组就变成 `[比基准值小, 基准值, 比基准值大]` 
    swap(array, right, more);
    return [less, more]; 
}

该算法的复杂度和归并排序是相同的，但是额外空间复杂度比归并排序少，只需 O(logN)，并且相比归并排序来说，所需的常数时间也更少。

「面试题」

「1 ）Sort Colors （颜色排序）：」

题目需要我们将 [2,0,2,1,1,0] 排序成 [0,0,1,1,2,2] ，这个问题就可以使用三路快排的思想。

以下是代码实现

var sortColors = function(nums) { 
    let left = -1; 
    let right = nums.length; 
    let i = 0; 
    // 下标如果遇到 right，说明已经排序完成 
    while (i < right) { 
        if (nums[i] == 0) { 
            swap(nums, i++, ++left); 
        } else if (nums[i] == 1) { 
            i++; 
        } else { 
            swap(nums, i, --right); 
        } 
    } 
};

「2 ）Kth Largest Element in an Array （数组中第k大的数字）：」

题目需要找出数组中第 K 大的元素，这问题也可以使用快排的思路。并且因为是找出第 K 大元素，所以 在分离数组的过程中，可以找出需要的元素在哪边，然后只需要排序相应的一边数组就好。

以下是代码实现

var findKthLargest = function(nums, k) { 
    let l = 0 
    let r = nums.length - 1 
    // 得出第 K 大元素的索引位置 
    k = nums.length - k 
    while (l < r) { 
        // 分离数组后获得比基准树大的第一个元素索引
        let index = part(nums, l, r) 
        // 判断该索引和 k 的大小 
        if (index < k) { 
            l = index + 1 
        } else if (index > k) { 
            r = index - 1 
        } else { 
            break 
        } 
    }
    return nums[k] 
};
function part(array, left, right) { 
    let less = left - 1; 
    let more = right; 
    while (left < more) { 
        if (array[left] < array[right]) {
            ++less; 
            ++left; 
        } else if (array[left] > array[right]) { 
            swap(array, --more, left); 
        } else { 
            left++; 
        } 
    }
    swap(array, right, more); 
    return more; 
}

12. 堆排序

堆排序利用了二叉堆的特性来做，二叉堆通常用数组表示，并且二叉堆是一颗完全二叉树（所有叶节点（最底层的节点）都是从左往右顺序排序，并且其他层的节点都是满的）。二叉堆又分为大根堆与小根堆。

• 大根堆是某个节点的所有子节点的值都比他小

• 小根堆是某个节点的所有子节点的值都比他大

堆排序的原理就是组成一个大根堆或者小根堆。以小根堆为例，某个节点的左边子节点索引是 i * 2 + 1 ，右边是 i * 2 + 2，父节点是 (i 1) /2。

1. 首先遍历数组，判断该节点的父节点是否比他小，如果小就交换位置并继续判断，直到他的父节点比他大

2. 重新以上操作 1 ，直到数组首位是最大值

3. 然后将首位和末尾交换位置并将数组长度减一，表示数组末尾已是最大值，不需要再比较大小

4. 对比左右节点哪个大，然后记住大的节点的索引并且和父节点对比大小，如果子节点大就交换位置

5. 重复以上操作 3 4 直到整个数组都是大根堆。

图片

以下是实现该算法的代码

function heap(array) { 
   checkArray(array); 
   // 将最大值交换到首位 
   for (let i = 0; i < array.length; i++) { 
       heapInsert(array, i); 
   }
   let size = array.length; 
   // 交换首位和末尾 
   swap(array, 0, --size); 
   while (size > 0) { 
       heapify(array, 0, size); 
       swap(array, 0, --size); 
   }
   return array; 
}
function heapInsert(array, index) { 
   // 如果当前节点比父节点大，就交换 
   while (array[index] > array[parseInt((index - 1) / 2)]) { 
       swap(array, index, parseInt((index - 1) / 2)); 
       // 将索引变成父节点 
       index = parseInt((index - 1) / 2); 
   } 
}
function heapify(array, index, size) { 
   let left = index * 2 + 1; 
   while (left < size) { 
       // 判断左右节点大小 
       let largest = left + 1 < size && array[left] < array[left + 1] ? left + 1 : left; 
       // 判断子节点和父节点大小 
       largest = array[index] < array[largest] ? largest : index; 
       if (largest === index) break; 
       swap(array, index, largest); 
       index = largest; 
       left = index * 2 + 1; 
   } 
}

以上代码实现了小根堆，如果需要实现大根堆，只需要把节点对比反一下就好。 该算法的复杂度是 O(logN)

13. 系统自带排序实现

每个语言的排序内部实现都是不同的。

对于 JS 来说，数组长度大于 10 会采用快排，否则使用插入排序。选择插入排序是因为虽然时间复杂度很差，但是在数据量很小的情况下和 O(N * logN)相差无几，然而插入排序需要的常数时间很小，所 以相对别的排序来说更快。

对于 Java 来说，还会考虑内部的元素的类型。对于存储对象的数组来说，会采用稳定性好的算法。稳定 性的意思就是对于相同值来说，相对顺序不能改变。

14. 链表

「面试题：反转单向链表」

题目需要将一个单向链表反转。思路很简单，使用三个变量分别表示当前节点和当前节点的前后节点， 虽然这题很简单，但是却是一道面试常考题

以下是实现该算法的代码

var reverseList = function(head) { 
    // 判断下变量边界问题 
    if (!head || !head.next) return head 
    // 初始设置为空，因为第一个节点反转后就是尾部，尾部节点指向 null 
    let pre = null 
    let current = head 
    let next 
    // 判断当前节点是否为空 
    // 不为空就先获取当前节点的下一节点 
    // 然后把当前节点的 next 设为上一个节点 
    // 然后把 current 设为下一个节点，pre 设为当前节点 
    while(current) { 
        next = current.next 
        current.next = pre 
        pre = current 
        current = next 
    }
    return pre 
};

15. 二叉树的先序，中序，后序遍历

先序遍历表示先访问根节点，然后访问左节点，最后访问右节点。

中序遍历表示先访问左节点，然后访问根节点，最后访问右节点。

后序遍历表示先访问左节点，然后访问右节点，最后访问根节点。

16. 递归实现

递归实现相当简单，代码如下

function TreeNode(val) { 
    this.val = val;
    this.left = this.right = null; 
}
var traversal = function(root) { 
    if (root) { 
        // 先序 
        console.log(root); 
        traversal(root.left); 
        // 中序 
        // console.log(root); 
        traversal(root.right);
        // 后序 
        // console.log(root); 
    } 
};

对于递归的实现来说，只需要理解每个节点都会被访问三次就明白为什么这样实现了。

17. 非递归实现

非递归实现使用了栈的结构，通过栈的先进后出模拟递归实现。

以下是先序遍历代码实现

function pre(root) { 
    if (root) { 
        let stack = []; 
        // 先将根节点 push 
        stack.push(root); 
        // 判断栈中是否为空 
        while (stack.length > 0) { 
            // 弹出栈顶元素 
            root = stack.pop(); 
            console.log(root); 
            // 因为先序遍历是先左后右，栈是先进后出结构 
            // 所以先 push 右边再 push 左边 
            if (root.right) { 
                stack.push(root.right); 
            }
            if (root.left) { 
                stack.push(root.left); 
            } 
        } 
    } 
}

以下是中序遍历代码实现

function mid(root) { 
    if (root) { 
        let stack = []; 
        // 中序遍历是先左再根最后右 
        // 所以首先应该先把最左边节点遍历到底依次 push 进栈 
        // 当左边没有节点时，就打印栈顶元素，然后寻找右节点 
        // 对于最左边的叶节点来说，可以把它看成是两个 null 节点的父节点 
        // 左边打印不出东西就把父节点拿出来打印，然后再看右节点
        while (stack.length > 0 || root) { 
            if (root) { 
                stack.push(root); 
                root = root.left; 
            } else { 
                root = stack.pop(); 
                console.log(root); 
                root = root.right; 
            } 
        } 
    } 
}

以下是后序遍历代码实现，该代码使用了两个栈来实现遍历，相比一个栈的遍历来说要容易理解很多

function pos(root) { 
    if (root) { 
        let stack1 = []; 
        let stack2 = []; 
        // 后序遍历是先左再右最后根 
        // 所以对于一个栈来说，应该先 push 根节点 
        // 然后 push 右节点，最后 push 左节点 
        stack1.push(root);
        while (stack1.length > 0) { 
            root = stack1.pop(); 
            stack2.push(root); 
            if (root.left) { 
                stack1.push(root.left); 
            }
            if (root.right) { 
                stack1.push(root.right); 
            } 
        }
        while (stack2.length > 0) { 
            console.log(s2.pop()); 
        } 
    } 
}

18. 中序遍历的前驱后继节点

实现这个算法的前提是节点有一个 parent 的指针指向父节点，根节点指向 null 。

「1 ）前驱节点」

对于节点 2 来说，他的前驱节点就是 4 ，按照中序遍历原则，可以得出以下结论

（ 1 ）如果选取的节点的左节点不为空，就找该左节点最右的节点。对于节点 1 来说，他有左节点 2 ，那么节点 2 的最右节点就是 5

（ 2 ）如果左节点为空，且目标节点是父节点的右节点，那么前驱节点为父节点。对于节点 5 来说，没 有左节点，且是节点 2 的右节点，所以节点 2 是前驱节点

（ 3 ）如果左节点为空，且目标节点是父节点的左节点，向上寻找到第一个是父节点的右节点的节点。对 于节点 6 来说，没有左节点，且是节点 3 的左节点，所以向上寻找到节点 1 ，发现节点 3 是节点 1 的右节点，所以节点 1 是节点 6 的前驱节点

以下是算法实现

function predecessor(node) { 
    if (!node) return 
    // 结论 1 
    if (node.left) { 
        return getRight(node.left) 
    } else { 
        let parent = node.parent 
        // 结论 2 3 的判断 
        while(parent && parent.right === node) { 
            node = parent parent = node.parent 
        }
        return parent 
    } 
}
function getRight(node) { 
    if (!node) return 
    node = node.right 
    while(node) node = node.right 
    return node 
}

「2 ）后继节点」

对于节点 2 来说，他的后继节点就是 5 ，按照中序遍历原则，可以得出以下结论

（ 1 ）如果有右节点，就找到该右节点的最左节点。对于节点 1 来说，他有右节点 3 ，那么节点 3 的最左节点就是 6

（ 2 ）如果没有右节点，就向上遍历直到找到一个节点是父节点的左节点。对于节点 5 来说，没有右节点，就向上寻找到节点 2 ，该节点是父节点 1 的左节点，所以节点 1 是后继节点

以下是算法实现

function successor(node) { 
    if (!node) return 
    // 结论 1 
    if (node.right) { 
        return getLeft(node.right) 
    } else {
        // 结论 2 
        let parent = node.parent 
        // 判断 parent 为空 
        while(parent && parent.left === node) { 
            node = parent parent = node.parent 
        }
        return parent 
    } 
}
function getLeft(node) { 
    if (!node) return 
    node = node.left 
    while(node) node = node.left 
    return node 
}

19. 树的深度

「面试题：树的最大深度：」

题目需要求出一颗二叉树的最大深度

以下是算法实现

var maxDepth = function(root) { 
    if (!root) return 0 
    return Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right)) + 1 
};

对于该递归函数可以这样理解：一旦没有找到节点就会返回 0 ，每弹出一次递归函数就会加一，树有三层就会得到 3 。

20. 动态规划

动态规划背后的基本思想非常简单。就是将一个问题拆分为子问题，一般来说这些子问题都是非常相似 的，那么我们可以通过只解决一次每个子问题来达到减少计算量的目的。

一旦得出每个子问题的解，就存储该结果以便下次使用。

21. 斐波那契数列

斐波那契数列就是从 0 和 1 开始，后面的数都是前两个数之和

0 ， 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ，89....

那么显然易见，我们可以通过递归的方式来完成求解斐波那契数列

function fib(n) { 
    if (n < 2 && n >= 0) return n 
    return fib(n - 1) + fib(n - 2) 
}
fib(10)

以上代码已经可以完美的解决问题。但是以上解法却存在很严重的性能问题，当 n 越大的时候，需要的 时间是指数增长的，这时候就可以通过动态规划来解决这个问题。 动态规划的本质其实就是两点

（ 1 ）自底向上分解子问题

（ 2 ）通过变量存储已经计算过的解

根据上面两点，我们的斐波那契数列的动态规划思路也就出来了

（ 1 ）斐波那契数列从 0 和 1 开始，那么这就是这个子问题的最底层

（ 2 ）通过数组来存储每一位所对应的斐波那契数列的值

22. 0-1背包问题

该问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。每个问题只能放入至多一次。

假设我们有以下物品

物品ID / 重量	价值
1	3
2	7
3	12

对于一个总容量为 5 的背包来说，我们可以放入重量 2 和 3 的物品来达到背包内的物品总价值最高。

对于这个问题来说，子问题就两个，分别是放物品和不放物品，可以通过以下表格来理解子问题

物品 ID / 剩余容量	0	1	2	3	4	5
1	0	3	3	3	3	3
2	0	3	7	10	10	10
3	0	3	7	12	15	19

直接来分析能放三种物品的情况，也就是最后一行

• 当容量少于 3 时，只取上一行对应的数据，因为当前容量不能容纳物品 3

• 当容量 为 3 时，考虑两种情况，分别为放入物品 3 和不放物品 3

  • 不放物品 3 的情况下，总价值为 10

  • 放入物品 3 的情况下，总价值为 12 ，所以应该放入物品 3

• 当容量 为 4 时，考虑两种情况，分别为放入物品 3 和不放物品 3

  • 不放物品 3 的情况下，总价值为 10

  • 放入物品 3 的情况下，和放入物品 1 的价值相加，得出总价值为 15 ，所以应该放入物品 3

• 当容量 为 5 时，考虑两种情况，分别为放入物品 3 和不放物品 3

  • 不放物品 3 的情况下，总价值为 10

  • 放入物品 3 的情况下，和放入物品 2 的价值相加，得出总价值为 19 ，所以应该放入物品 3

以下代码对照上表更容易理解

/**
 * @param {*} w 物品重量 
 * @param {*} v 物品价值 
 * @param {*} C 总容量 
 * @returns 
 */ 
function knapsack(w, v, C) { 
    let length = w.length 
    if (length === 0) return 0 
    // 对照表格，生成的二维数组，第一维代表物品，第二维代表背包剩余容量 
    // 第二维中的元素代表背包物品总价值 
    let array = new Array(length).fill(new Array(C + 1).fill(null)) 
    // 完成底部子问题的解 
    for (let i = 0; i <= C; i++) { 
        // 对照表格第一行， array[0] 代表物品 1 
        // i 代表剩余总容量 
        // 当剩余总容量大于物品 1 的重量时，记录下背包物品总价值，否则价值为 0 
        array[0][i] = i >= w[0] ? v[0] : 0 }
    // 自底向上开始解决子问题，从物品 2 开始 
    for (let i = 1; i < length; i++) { 
        for (let j = 0; j <= C; j++) { 
            // 这里求解子问题，分别为不放当前物品和放当前物品 
            // 先求不放当前物品的背包总价值，这里的值也就是对应表格中上一行对应的值 
            array[i][j] = array[i - 1][j] 
            // 判断当前剩余容量是否可以放入当前物品 
            if (j >= w[i]) { 
                // 可以放入的话，就比大小 
                // 放入当前物品和不放入当前物品，哪个背包总价值大
                array[i][j] = Math.max(array[i][j], v[i] + array[i - 1][j - w[i]]) 
            } 
        } 
    }
    return array[length - 1][C] 
}

23. 最长递增子序列

最长递增子序列意思是在一组数字中，找出最长一串递增的数字，比如

0, 3, 4, 17, 2, 8, 6, 10

对于以上这串数字来说，最长递增子序列就是 0, 3, 4, 8, 10，可以通过以下表格更清晰的理解

数字	0	3	4	17	2	8	6	10
长度	1	2	3	4	2	4	4	5

通过以上表格可以很清晰的发现一个规律，找出刚好比当前数字小的数，并且在小的数组成的长度基础上加一。

这个问题的动态思路解法很简单，直接上代码

function lis(n) { 
    if (n.length === 0) return 0 
    // 创建一个和参数相同大小的数组，并填充值为 1 
    let array = new Array(n.length).fill(1) 
    // 从索引 1 开始遍历，因为数组已经所有都填充为 1 了 
    for (let i = 1; i < n.length; i++) { 
        // 从索引 0 遍历到 i 
        // 判断索引 i 上的值是否大于之前的值 
        for (let j = 0; j < i; j++) { 
            if (n[i] > n[j]) { 
                array[i] = Math.max(array[i], 1 + array[j]) 
            } 
        } 
    }
    let res = 1 
    for (let i = 0; i < array.length; i++) { 
        res = Math.max(res, array[i]) 
    }
    return res 
}

24. 字符串相关

在字符串相关算法中，Trie 树可以解决解决很多问题，同时具备良好的空间和时间复杂度，比如以下问题

• 词频统计

• 前缀匹配